Question

14．如圖，拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）的頂點(diǎn)為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且BO=OC=3AO，直線y=-$\frac{1}{3}$x+1與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）證明：△DBO∽△EBC；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，在由BO=OC=3AO，確定出點(diǎn)B，A的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先求出點(diǎn)A，B，C，D，E的坐標(biāo)，從而求出BC=3$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{2}$，OD=1，OB=3，BD=$\sqrt{10}$，求出比值，得到$\frac{CE}{OD}=\frac{BC}{OB}=\frac{BE}{BD}$得出結(jié)論；
（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出PB，PC，求出BC，分三種情況計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3，
∴c=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵BO=OC=3AO，
∴BO=3，AO=1，
∴B（3，0），A（-1，0），
∵該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b-3=0}\\{a-b-3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3，
（2）由（1）知，拋物線解析式為y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴E（1，-4），
∵B（3，0），A（-1，0），C（0，-3），
∴BC=3$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{2}$，
∵直線y=-$\frac{1}{3}$x+1與y軸交于點(diǎn)D，
∴D（0，1），
∵B（3，0），
∴OD=1，OB=3，BD=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{CE}{OD}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{OB}=\sqrt{2}$，$\frac{BE}{BD}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{CE}{OD}=\frac{BC}{OB}=\frac{BE}{BD}$，
∴△BCE∽△BDO，
（3）存在，
理由：設(shè)P（1，m），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BC=3$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，PC=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∵△PBC是等腰三角形，
①當(dāng)PB=PC時(shí)，
∴$\sqrt{{m}^{2}+4}$=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∴m=-1，
∴P（1，-1），
②當(dāng)PB=BC時(shí)，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∴m=±$\sqrt{14}$，
∴P（1，$\sqrt{14}$）或P（1，-$\sqrt{14}$），
③當(dāng)PC=BC時(shí)，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{（m+3）^{2}+1}$，
∴m=-3±$\sqrt{17}$，
∴P（1，-3+$\sqrt{17}$）或P（1，-3-$\sqrt{17}$），
∴符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，-1）或P（1，$\sqrt{14}$）或P（1，-$\sqrt{14}$）或P（1，-3+$\sqrt{17}$）或P（1，-3-$\sqrt{17}$）

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法，兩點(diǎn)間的距離公式，待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是判斷△BCE∽△BDO．難點(diǎn)是分類．