Question

7．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為菱形ABCD的對稱中心，已知C（2，0），D（0，-1），N為線段CD上一點（不與C、D重合）．
（1）求以C為頂點，且經(jīng)過點D的拋物線解析式；
（2）設(shè)N關(guān)于BD的對稱點為N₁，N關(guān)于BC的對稱點為N₂，求證：△N₁BN₂∽△ABC；
（3）求（2）中N₁N₂的最小值；
（4）過點N作y軸的平行線交（1）中的拋物線于點P，點Q為直線AB上的一個動點，且∠PQA=∠BAC，求當(dāng)PQ最小時點Q坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求，即可；
（2）由對稱的特點得出∠N₁BN₂=2∠DBC結(jié)合菱形的性質(zhì)即可；
（3）先判定出，當(dāng)BN⊥CD時，BN最短，再利用△ABC∽△N₁BN₂得到比例式，求解，即可；
（4）先建立PE=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+2函數(shù)解析式，根據(jù)拋物線的特點確定出最小值．

解答 解：（1）由已知，設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²
把D（0，-1）代入，得a=-$\frac{1}{4}$
∴y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²
（2）如圖1，連結(jié)BN．

∵N₁，N₂是N的對稱點
∴BN₁=BN₂=BN，∠N₁BD=∠NBD，∠NBC=∠N₂BC
∴∠N₁BN₂=2∠DBC
∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC
∴∠ABC=∠N₁BN₂，$\frac{AB}{{B{N_1}}}=\frac{BC}{{B{N_2}}}$
∴△ABC∽△N₁BN₂
（3）∵點N是CD上的動點，
∴點到直線的距離，垂線段最短，
∴當(dāng)BN⊥CD時，BN最短．
∵C（2，0），D（0，-1）
∴CD=$\sqrt{5}$，
∴BNmin=$\frac{BD×CO}{CD}$=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$，
∴BN_1min=BN_min=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$，
∵△ABC∽△N₁BN₂
∴$\frac{AB}{{B{N_1}}}=\frac{AC}{{{N_1}{N_2}}}$，
N₁N_2min=$\frac{16}{5}$，
（4）如圖2，

過點P作PE⊥x軸，交AB于點E．
∵∠PQA=∠BAC
∴PQ₁∥AC
∵菱形ABCD中，C（2，0），D（0，-1）
∴A（-2，0），B（0，1）
∴l(xiāng)_AB：y=$\frac{1}{2}$x+1
不妨設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$（m-2）²），則E（m，$\frac{1}{2}$m+1）
∴PE=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+2
∴當(dāng)m=1時，$P{E_{min}}=\frac{7}{4}$，
∴P（1，-$\frac{1}{4}$），
∴Q₁（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{4}$）．
此時，PQ₁最小，最小值為$\frac{PE}{tan∠E{Q}_{1}P}$=$\frac{7}{2}$，
∴PQ₁=PQ₂=$\frac{7}{2}$．
設(shè)Q₂（n，$\frac{1}{2}$n+1），
∵P（1，-$\frac{1}{4}$），
∴PQ₂=$\sqrt{（n-1）^{2}+（\frac{1}{2}n+1+\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴n=-$\frac{5}{2}$或n=$\frac{31}{10}$，
∴Q₂（$\frac{31}{10}$，$\frac{51}{20}$），
∴滿足條件的Q（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{4}$）或（$\frac{31}{10}$，$\frac{51}{20}$），

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，對稱的特點，解本題的關(guān)鍵是判斷出達(dá)到極值是的位置．