Question

6．如圖，直線AB與雙曲線交于點A，B，與x軸，y軸分別交于點C，D，與x軸的夾角α滿足tanα=$\frac{3}{4}$，且OD=6，CD：CB=1：2．
（1）求點A的坐標；
（2）連接AO，并延長AO與雙曲線相交于點E，求△ABE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據已知求得C（-8，0），D（0，6），根據待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，根據OD∥BF，得出$\frac{OD}{BF}$=$\frac{OC}{CF}$=$\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，求得BF=12，CF=16，OF=8，即可得出B的坐標，進而求得反比例函數(shù)的解析式，然后聯(lián)立方程，即可求得A的坐標；
（2）根據中心對稱的性質得出E的坐標，然后根據S_△ABE=S_△AOD+S_梯形DOFB+S_梯形BEGF-S_△EOG，即可求得△ABE的面積．

解答 解：（1）tanα=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{3}{4}$，且OD=6，
∴OC=$\frac{4}{3}$OD=8，
∴C（-8，0），D（0，6），
設直線AB的解析式為y=ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-8a+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{4}$x+6，
作BF⊥x軸于F，則OD∥BF，
∴$\frac{OD}{BF}$=$\frac{OC}{CF}$=$\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{6}{BF}$=$\frac{8}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴BF=12，CF=16，
∴OF=8，
∴B（8，12），
設反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，
∴12=$\frac{k}{8}$，解得k=96，
∴y=$\frac{96}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{96}{x}}\\{y=\frac{3}{4}x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-16}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=12}\end{array}\right.$，
∴點A的坐標為（-16，-6）；
（2）∵點A的坐標為（-16，-6），
∴E（16，6），
∴S_△ABE=S_△AOD+S_梯形DOFB+S_梯形BEGF-S_△EOG
=$\frac{1}{2}$×6×16+$\frac{1}{2}$（6+12）×8+$\frac{1}{2}$（12+6）×（16-8）-$\frac{1}{2}$×16×6
=144．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解直角三角形及平行線的性質，三角形的面積等，注意數(shù)形結合思想的運用．