Question

17．研究幾何圖形，我們往往先給出這類圖形的定義，再研究它的性質(zhì)和判定方法．我們給出如下定義：如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD像這樣兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”；
（1）小文認(rèn)為菱形是特殊的“箏形”，你認(rèn)為他的判斷正確嗎？
（2）小文根據(jù)學(xué)習(xí)幾何圖形的經(jīng)驗，通過觀察、實驗、歸納、類比、猜想、證明等方法，對AB≠BC的“箏形”的性質(zhì)和判定方法進行了探究．下面是小文探究的過程，請補充完成：
①他首先發(fā)現(xiàn)了這類“箏形”有一組對角相等，并進行了證明，請你完成小文的證明過程．
已知：如圖，在”箏形”ABCD中，AB=AD，CB=CD．
求證：∠ABC=∠ADC．
證明：連結(jié)BD，在△ABD和△BCD中，
∵AB=AD，BC=CD，
∴∠ABD=∠ADB，∠DBC=∠BDC
∴∠ABC=∠ADC．
②小文由①得到了這類“箏形”角的性質(zhì)，他進一步探究發(fā)現(xiàn)這類“箏形”還具有其它性質(zhì)，請再寫出這類“箏形”的一條性質(zhì)（除“箏形”的定義外）“箏形”有一條對角線平分一組對角；
③繼性質(zhì)探究后，小文探究了這類“箏形”的判定方法，寫出這類“箏形”的一條判定方法（除“箏形”的定義外）：有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形．

Answer 1

分析 （1）菱形四邊相等，根據(jù)箏形定義可得菱形是特殊的“箏形”；
（2）①連結(jié)BD，根據(jù)等邊對等角可得∠ABD=∠ADB，∠DBC=∠BDC，進而可得∠ABC=∠ADC；
②連接AC，BD，根據(jù)線段垂直平分線的判定可得AC是BD的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC平分∠BAC和∠BCD；
③根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得如果AC是BD的垂直平分線，則AB=AD，BC=CD．

解答 證明：（1）正確，
∵菱形四邊相等，
∴菱形是特殊的“箏形”；

（2）①連結(jié)BD，在△ABD和△BCD中，
∵AB=AD，BC=CD，
∴∠ABD=∠ADB，∠DBC=∠BDC
∴∠ABC=∠ADC；

②“箏形”有一條對角線平分一組對角（答案不唯一），
連接AC，BD，
∵AB=AD，
∴A在BD的垂直平分線上，
∵BC=DC，
∴C在BD的垂直平分線上，
∴AC是BD的垂直平分線，
∵AB=AD，BC=CD，
∴AC平分∠BAC和∠BCD，
∴“箏形”有一條對角線平分一組對角，
故答案為：“箏形”有一條對角線平分一組對角；

③有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形（答案不唯一）．
故答案為：有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形．

點評 此題主要考查了四邊形的綜合，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定：等邊對等角．到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上．