Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-（x-a）（x-4）（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）若D點(diǎn)坐標(biāo)為（），求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為a，點(diǎn)N為拋物線在x軸上方一點(diǎn)，若以C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求a的值；

（3）直線y=2x+b與（1）中的拋物線交于點(diǎn)D、E（如圖2），將（1）中的拋物線沿著該直線方向進(jìn)行平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為D′，與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為E′，與x軸的交點(diǎn)為B′，在平移的過(guò)程中，求D′E′的長(zhǎng)度；當(dāng)∠E′D′B′=90°時(shí)，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+3x+4，C（0，4）；（2）a1=-2-2，a2=；（3）D′E′=2，B′（-1，0）．

【解析】

（1）將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得a的值；利用拋物線解析式來(lái)求點(diǎn)C的值．
（2）需要分類討論：BC為邊和BC為對(duì)角線兩種情況，根據(jù)“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，平行四邊形的對(duì)角線相互平分”的性質(zhì)列出方程組，利用方程思想解答．
（3）根據(jù)平移規(guī)律得到D′E′的長(zhǎng)度、平移后拋物線的解析式，然后由函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)B′的坐標(biāo)．

（1）依題意得：=-（-a）（-4）．

解得a=-1．

∴拋物線解析式為：y=-（x+1）（x-4）或y=-x2+3x+4．

∴C（0，4）．

（2）由題意知：A（a，0），B（4，0），C（0，-4a）．

對(duì)稱軸為直線x=，則M（，a）．

①M(fèi)N∥BC且MN=BC，根據(jù)點(diǎn)的平移特征可知N（，-3a）．

則-3a=-（-a）（-4）．

解得：a=-2±2（舍去正值）．

②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，設(shè)N（x，y）．

根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得：．

解得．

則-5a=-（-a）（-4）．

解得a=．（舍去正值）

∴a1=-2-2，a2=．

（3）把D（）代入y=2x+b得到：2×+b=．則b=．

故直線解析式為：y=2x+．

聯(lián)立．

解得（舍去），．

∴E（-，）

∴DE=2．

根據(jù)拋物線的平移規(guī)律，則平移后線段D′E′始終等于2．

設(shè)平移后的D′（m，2m+），則E′（m-2，2m-）．

平移后拋物線的解析式為：y=-（x-m）2+2m+．

則D′B′：y=-x+n過(guò)點(diǎn)（m，2m+），

∴y=-x+m+，則B′（5m+，0）．

∴-（5m+）+m+=0．

解得m1=-，m2=-．

∴B′1（-1，0），B′2（-，0）（與D′重合，舍去）．

綜上所述，B′（-1，0）．