【題目】合與實(shí)踐﹣﹣探究圖形中角之間的等量關(guān)系及相關(guān)問題.
問題情境:
正方形ABCD中,點(diǎn)P是射線DB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作CE⊥AP于點(diǎn)E,點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱,連接CQ,設(shè)∠DAP=α(0°<α<135°),∠QCE=β.
初步探究:
(1)如圖1,為探究α與β的關(guān)系,勤思小組的同學(xué)畫出了0°<α<45°時(shí)的情形,射線AP與邊CD交于點(diǎn)F.他們得出此時(shí)α與β的關(guān)系是β=2α.借助這一結(jié)論可得當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在線段BC的延長(zhǎng)線上(如圖2)時(shí),α= °,β= °;
深入探究:
(2)敏學(xué)小組的同學(xué)畫出45°<α<90°時(shí)的圖形如圖3,射線AP與邊BC交于點(diǎn)G.請(qǐng)猜想此時(shí)α與β之間的等量關(guān)系,并證明結(jié)論;
拓展延伸:
(3)請(qǐng)你借助圖4進(jìn)一步探究:①當(dāng)90°<α<135°時(shí),α與β之間的等量關(guān)系為 ;
②已知正方形邊長(zhǎng)為2,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)α=β時(shí),PQ的長(zhǎng)為 .
【答案】(1)30,60;(2)α與β的關(guān)系是β=2(90°﹣α);理由見解析;(3)①β=2(α﹣90°);②6﹣2.
【解析】
初步探究:(1)連接PC,由對(duì)稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠QCE=∠PCE,證明△ABP≌△CBP,得出∠BAP=∠BCP,由平行線得出∠CQE=∠DAP=α,證出α+β=90°①,再證出β=2α②,即可得出結(jié)果;
深入探究:(2)連接PC,由對(duì)稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠QCE=∠PCE,證明△ABP≌△CBP,得出∠BAP=∠BCP=∠BAD-∠DAP=90°-α,AP=CP,證出∠BAP=∠GCE,得出∠BCG=∠GCE=90°-α,即可得出結(jié)論;
拓展延伸:(3)①連接PC,證出∠PCE=∠QCE=β,證明△ABP≌△CBP,得出∠BAP=∠BCP=∠DAP-∠BAD=α-90°,證明∠BAP=∠BCH,得出∠BCP=∠BCH=∠BAP=α-90°,即可得出結(jié)論;
②分三種情況:
當(dāng)0°<α<45°時(shí),β=2α,不合題意;
當(dāng)45°<α<90°時(shí),β=2(90°-α),得出α=β=60°,作PM⊥AD于M,證出AM=AP,DM=PM=AM,設(shè)AM=x,則CP=AP=2x,DM=PM=x,得出方程,解得:x=,得出CP=AP=2x=2-2,在△PCQ中,求出CE=CP=-1,PE=CE=3-,得出PQ=2PE=6-2;
當(dāng)90°<α<135°時(shí),β=2(α-90°),得出α=β=180°,不合題意.
解:(1)連接PC,如圖2所示:
∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱,
∴EP=EQ,
∵CE⊥AP,
∴CE垂直平分PQ,
∴CP=CQ,
∴∠QCE=∠PCE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠BAD=90°,AD∥BC,∠ABD=∠CBD=45°,
在△ABP和△CBP中,,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴∠BAP=∠BCP,
∵AD∥BC,
∴∠CQE=∠DAP=α,
∵CE⊥AP,
∴∠CQE+∠QCE=90°,即α+β=90°①,
∵∠CQE+∠BAP=90°,
∴∠QCE=∠BAP=∠BCP,
∵∠BCP=∠CQE+∠CPQ,
∴β=2α②,
由①②得:α=30°,β=60°;
故答案為:30,60;
深入探究:
(2)α與β的關(guān)系是β=2(90°﹣α);理由如下:
連接PC,如圖3所示:
∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱,
∴EP=EQ,
∵CE⊥AP,
∴CE垂直平分PQ,
∴CP=CQ,
∴∠QCE=∠PCE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠BAD=90°,∠ABD=∠CBD=45°,
在△ABP和△CBP中,,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴∠BAP=∠BCP=∠BAD﹣∠DAP=90°﹣α,AP=CP,
∵∠ABG=∠CEG=90°,
∴∠BAP+∠AGB=90°,∠GCE+∠CGE=90°,
∵∠AGB=∠CGE,
∴∠BAP=∠GCE,
∴∠BCG=∠GCE=90°﹣α,
∴∠QCE=2∠GCE=2(90°﹣α),
即:β=2(90°﹣α);
拓展延伸:
(3)①當(dāng)90°<α<135°時(shí),α與β之間的等量關(guān)系為β=2(α﹣90°);理由如下:
連接PC,設(shè)CE交AB于點(diǎn)H,如圖4所示:
∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱,
∴EP=EQ,
∵CE⊥AP,
∴CE垂直平分PQ,
∴CP=CQ,
∴∠PCE=∠QCE=β,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠BAD=90°,∠ABD=∠CBD=45°,
∴∠ABP=∠CBP,
在△ABP和△CBP中,,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴∠BAP=∠BCP=∠DAP﹣∠BAD=α﹣90°,
∵∠AEH=∠CBH=90°,
∴∠BAP+∠AHE=90°,∠BCH+∠BHC=90°,
∵∠AHE=∠CHB,
∴∠BAP=∠BCH,
∴∠BCP=∠BCH=∠BAP=α﹣90°,
∴∠QCE=∠PCE=2∠BCP=2(α﹣90°),
即:β=2(α﹣90°);
故答案為:β=2(α﹣90°);
②當(dāng)0°<α<45°時(shí),β=2α,不合題意;
當(dāng)45°<α<90°時(shí),β=2(90°﹣α),
∵α=β,
∴α=β=60°,
作PM⊥AD于M,如圖5所示:
∵∠APM=90°﹣α=30°,∠PDM=45°,
∴AM=AP,DM=PM=AM,
設(shè)AM=x,則CP=AP=2x,DM=PM=x,
∵AD=2,
∴x+x=2,
解得:x=﹣1,
∴CP=AP=2x=2﹣,
∵∠PCQ=2β=120°,CP=CQ,CE⊥AP,
∴∠CPE=30°,PE=QE,
∴CE=CP=﹣1,PE=CE=3﹣,
∴PQ=2PE=6﹣2;
當(dāng)90°<α<135°時(shí),β=2(α﹣90°),
∵α=β,
∴α=β=180°,不合題意;
綜上所述,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)α=β時(shí),PQ的長(zhǎng)為6﹣2;
故答案為:6﹣2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A,求m和k的值;
(3)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B,C(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)B,C間的部分(含點(diǎn)B和點(diǎn)C)向左平移個(gè)單位后得到的圖象記為C,同時(shí)將(2)中得到的直線向上平移n個(gè)單位.請(qǐng)結(jié)合圖象回答:當(dāng)平移后的直線與圖象G有公共點(diǎn)時(shí),n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時(shí),分別把轉(zhuǎn)盤A,B分成3等份和1等份,并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字.游戲規(guī)則:同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后,指針?biāo)趨^(qū)域的數(shù)字之積為奇數(shù)時(shí),甲獲勝;當(dāng)數(shù)字之積為偶數(shù)時(shí),乙獲勝.如果指針恰好在分割線上時(shí),則需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤.
(1)利用畫樹狀圖或列表的方法,求甲獲勝的概率.
(2)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)甲、乙雙方公平嗎?若公平,請(qǐng)說明理由;若不公平,請(qǐng)你在轉(zhuǎn)盤A上只修改一個(gè)數(shù)字使游戲公平(不需要說明理由).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李叔叔和張阿姨栽樹.李叔叔栽6棵樹所用的時(shí)間與張阿姨栽5棵樹所用的時(shí)間相同,已知李叔叔比張阿姨平均每天多栽20棵樹.
(1)求李叔叔平均每天栽樹的棵數(shù);
(2)由李叔叔和張阿姨同時(shí)栽樹1540棵,要幾天完成?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn),E是直線BC上一動(dòng)點(diǎn),將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF,連接AF、EF,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中線段AF的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1,畫出△AB1C1;
(2)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A2B2C2,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,-2),則點(diǎn)B2的坐標(biāo)為_________.
(3)若△A2B2C2可看作是由△AB1C1繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《孫子算經(jīng)》是唐初作為“算學(xué)”教科書的著名的《算經(jīng)十書》之一,共三卷,上卷敘述算籌記數(shù)的制度和乘除法則,中卷舉例說明籌算分?jǐn)?shù)法和開平方法,都是了解中國(guó)古代籌算的重要資料,下卷收集了一些算術(shù)難題,“雞兔同籠”便是其中一題.下卷中還有一題,記載為:“今有甲乙二人,持錢各不知數(shù).甲得乙中半,可滿四十八;乙得甲太半,亦滿四十八.問甲、乙二人持錢各幾何?”意思是:“甲、乙兩人各有若干錢,如果甲得到乙所有錢的一半,那么甲共有錢48文.如果乙得到甲所有錢的,那么乙也共有錢48文.問甲、乙二人原來各有多少錢?”設(shè)甲原有錢x文,乙原有錢y文,可得方程組( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按要求作圖,不要求寫作法,但要保留作圖痕跡.
(1)如圖1,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D在圓上, B、C兩點(diǎn)在圓內(nèi),已知圓心O,請(qǐng)僅用無刻度的直尺作圖,請(qǐng)作出直線l⊥AD;
(2)請(qǐng)僅用無刻度的直尺在下列圖2和圖3中按要求作圖.(補(bǔ)上所作圖形頂點(diǎn)字母)
①圖2是矩形ABCD,E,F分別是AB和AD的中點(diǎn),以EF為邊作一個(gè)菱形;
②圖3是矩形ABCD,E是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)(BE>DE),以AE為邊作一個(gè)平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)店專售一款電動(dòng)牙刷,其成本為20元/支,銷售中發(fā)現(xiàn),該商品每天的銷售量y(支)與銷售單價(jià)x(元/支)之間存在如圖所示的關(guān)系.
(1)請(qǐng)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該款電動(dòng)牙刷銷售單價(jià)定為多少元時(shí),每天銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
(3)近期武漢爆發(fā)了“新型冠狀病毒”疫情,該網(wǎng)店店主決定從每天獲得的利潤(rùn)中抽出 200 元捐贈(zèng)給武漢,為了保證捐款后每天剩余利潤(rùn)不低于550元,如何確定該款電動(dòng)牙刷的售單價(jià)?
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