Question

5．如圖1，已知直線(xiàn)l₁∥l₂，線(xiàn)段AB在直線(xiàn)l₁上，BC垂直l₁交l₂于點(diǎn)C，且AB=BC，P是線(xiàn)段BC上異于兩端點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)分別交l₂、l₁于點(diǎn)D，E（點(diǎn)A，E位于點(diǎn)B的兩側(cè)），且∠EDC=45°，連接AP，CE．
（1）若∠PAB=25°，則∠APD=70°；
（2）求證：△ABP≌△CBE；
（3）如圖2，連結(jié)BD，BD與AP相交于點(diǎn)F，若AP⊥BD，求：$\frac{BC}{BP}$的值．

Answer 1

分析 （1）在RT△DCP和RT△ABP中分別求出∠DPC和∠APB即可利用∠APD=180°-∠DPC-∠APB進(jìn)行計(jì)算．
（2）根據(jù)已知條件，AB=BC，∠ABP=∠CBE，所以欲△ABP≌△CBE只要證明PB=BE即可．
（3）用兩次全等△ABP≌△BCD以及△DCP≌△EBP即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：如圖1中，∵BC⊥AB，l₁∥l₂，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵∠ABP=90°，
∴∠DCP=90°，
∵∠CDP=45°，∠PAB=25°，
∴∠DPC=90°-∠CDP=45°，∠APB=90°-∠PAB=65°，
∴∠APD=180°-∠DPC-∠APB=70°．
故答案為70°．
（2）∵CD∥BE，
∴∠BEP=∠CDP=45°，
∵∠PBE=90°，
∴∠BPE=∠BEP=45°，
∴PB=BE，
在△ABP和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBE．
（3）∵AP⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠ABF+∠DBC=90°，
∴∠PAB=∠DBC，
在△ABP和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAB=∠DBC}\\{AB=BC}\\{∠ABP=∠DCB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD，
∴PB=DC=BE，
 在△PDC和△PEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPC=∠EPB}\\{∠DCP=∠EBP}\\{DC=BE}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△EBP，
∴PC=PB，
∴$\frac{BC}{PB}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，利用三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．