Question

【題目】已知矩形ABCD中，AD=6，∠ACB=30°，將△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，使點D的對應點G落在BC延長線上，點A對應點為E點，C點對應點為F點，F(xiàn)點與C點重合（如圖1），此時將△EFG以每秒1個單位長度的速度沿直線CB向左平移，直至點G與點B重合時停止運動，設△EFG運動的時間為t（t＞0）．

（1）當t為何值時，點D落在線段EF上？

（2）設在平移過程中△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應的t的取值范圍；

（3）在平移過程中，當點G與點B重合時（如圖2），將△CBA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△C1A1B，直線EF與C1A1所在直線交于P點，與C1B所在直線交于點Q．在旋轉(zhuǎn)過程中，△ABC的旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），是否存在這樣的α，使得△C1PQ為等腰三角形？若存在，請寫出α的度數(shù)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當t=2時，點D落在線段EF上．（2）見解析；（3）△C1PQ為等腰三角形，旋轉(zhuǎn)角為30°、120°、165°．

【解析】

試題分析：（1）利用三角函數(shù)求出線段CD，延長AD交EF于點H，利用三角函數(shù)即可求出線段DH長度，再除以運動速度即為運動時間；

（2）分五種情況進行討論，求出重合面積，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）通過分析△C1PQ為等腰三角形，分析等腰情況，分別求出對應角度即可．

解：（1）∵AD=BC=6，∠ACB=30°，

∴AB=DF=6×tan30°=2，

延長AD交EF于點H，如下圖：

∵△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，

∴∠DFH=30°，

∴DH=DF×tan30°=2，

∵△EFG以每秒1個單位長度的速度沿直線CB向左平移，2÷1=2秒，

∴當t=2時，點D落在線段EF上．

（2）當0＜t≤2時，S=t2，

當2＜t≤2時，S=2t﹣2，

當2＜t≤6時，S=12﹣2，

當6＜t≤8時，S=﹣t2+6t﹣20+12，

當8＜t＜6+2時，S=﹣2t+12+12，

（3）30°、120°、165°．

∵△C1PQ為等腰三角形，

當PQ=PC′，如下圖：

則∠Q=∠C′=30°，

∴∠EPC′=60°，

∵∠E=30°，

∴∠A′B′E=30°，

∴α=30°．

同理：當PQ=QC′，PC′=QC′，α=120°、165°．

∴△C1PQ為等腰三角形，旋轉(zhuǎn)角為30°、120°、165°．