Question

如圖，在直角坐標系xoy中，O是坐標原點，點A在x正半軸上，OA=cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動．如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度數(shù)．
（2）以OB為直徑的⊙O′與AB交于點M，當t為何值時，PM與⊙O′相切？
（3）寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數(shù)關系式，并求s的最小值及相應的t值．
（4）是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出相應的t值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的長，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度數(shù)；
（2）連接O′M，當PM與⊙O′相切時，PM、PO同為⊙O′的切線，易證得△OO′P≌△MO′P，則∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等邊三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根據(jù)∠PO′O的度數(shù)及OO′的長即可求得OP的長，已知了P點的運動速度，即可根據(jù)時間=路程÷速度求得t的值；
（3）過Q作QE⊥x軸于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的長，進而根據(jù)∠OAB的度數(shù)表示出QE、AE的長，由S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ即可求得S、t的函數(shù)關系式；根據(jù)所得函數(shù)的性質及自變量的取值范圍即可求出S的最小值及對應的t的值；
（4）由于△APQ的腰和底不確定，需分類討論：
①AP=AQ，可分別用t表示出兩條線段的長，然后根據(jù)它們的等量關系求出此時t的值；
②PQ=AQ，過點Q作QD⊥x軸于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質知：PA=2AD；可分別用t表示出PA、AD的長，然后根據(jù)它們的等量關系列方程求解；
③AP=PQ，過點Q做QH⊥AQ于H，方法同②．
解答：解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=，
∴∠OAB=30°．

（2）如圖，連接O′P，O′M．
當PM與⊙O′相切時，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等邊三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=．
又∵OP=t，
∴t=，t=3．
即：t=3時，PM與⊙O‘相切．

（3）如圖，過點Q作QE⊥x于點E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×．
∴OE=OA-AE=-t．
∴Q點的坐標為（-t，2t），
S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ
=
=
=． （0＜t＜6）
當t=3時，S_△PQR最小=；

（4）分三種情況：如圖
①當AP=AQ₁=4t時，
∵OP+AP=，
∴t+4t=．
∴t=，
或化簡為t=-18；
②當PQ₂=AQ₂=4t時，
過Q₂點作Q₂E⊥x軸于點E．
∴PA=2AE=2AQ₂•cosA=t，
即t+t=，
∴t=2；
③當PA=PQ₃時，過點P作PH⊥AB于點H．
AH=PA•cos30°=（-t）•=18-3t，
AQ₃=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
綜上所述，當t=2或t=3.6或t=-18時，△APQ是等腰三角形．
點評：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定和性質、二次函數(shù)的應用以及等腰三角形的判定和性質等知識，需注意的是（4）題在不確定等腰三角形腰和底的情況下，要充分考慮到各種可能的情況，以免漏解．