Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，其中x₁，x₂是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根，且x₁＜x₂，連接MC，過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)為N．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）判斷直線NA與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿CM向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BA以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，以Q、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△PCO相似？

Answer 1

分析：（1）先解方程x²-10x+16=0求出兩根，確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再連接AM，過點(diǎn)M作MD⊥AB于D，由垂徑定理得AD=

1

2

AB=3，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0），則⊙M的半徑為5，然后在直角△AMD中，運(yùn)用勾股定理求出MD的長(zhǎng)，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點(diǎn)N的坐標(biāo)，再分別計(jì)算AN、MN，在△AMN中由勾股定理的逆定理可得∠MAN=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可判斷直線NA與⊙M相切；
（3）由于0＜t≤5，又t=2時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)，此時(shí)以Q、O、C為頂點(diǎn)的三角形不存在，所以分兩種情況討論：①0＜t＜2，即點(diǎn)Q在x軸正半軸上；②2＜t≤5，即點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸上．又因?yàn)橐訯、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△PCO都是直角三角形，則直角頂點(diǎn)O與C對(duì)應(yīng)，每一種情況又分為兩種：（Ⅰ）△QOC∽△PCO；（Ⅱ）△QOC∽△OCP．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0，得x₁=2，x₂=8，
∴A（2，0），B（8，0）．
連接AM，過點(diǎn)M作MD⊥AB于D，由垂徑定理得AD=

1

2

AB=3，
∴OD=OA+AD=2+3=5，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）．
∵⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，
∴⊙M的半徑AM=CM=OD=5．
在直角△AMD中，∵∠ADM=90°，
∴MD=

AM2-AD2

=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，4）．
設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8），
將點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，4）代入，得4=16a，
解得a=

1

4

，
∴y=

1

4

（x-2）（x-8）=

1

4

x²-

5

2

x+4．
故所求拋物線的解析式為y=

1

4

x²-

5

2

x+4；

（2）直線NA與⊙M相切，理由如下：
連接MN．
∵y=

1

4

x²-

5

2

x+4=y=

1

4

（x²-10x）+4=

1

4

（x-5）²-

9

4

，
∴頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，-

9

4

）．
∵AN²=（5-2）²+（-

9

4

）²=9+

81

16

=

225

16

，
AM²=5²=25，
MN²=（4+

9

4

）²=（

25

4

）²=

625

16

，
∴AN²+AM²=MN²，
∴∠MAN=90°，
又∵點(diǎn)A在⊙M上，
∴直線NA與⊙M相切；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)0＜t＜2，即點(diǎn)Q在x軸正半軸上時(shí)，
CP=t，BQ=4t，OQ=OB-BQ=8-4t．
若△QOC∽△PCO，則OQ：CP=OC：CO，
∵OC=CO，
∴OQ=CP，
∴8-4t=t，
解得t=

8

5

；
若△QOC∽△OCP，則OQ：CO=OC：CP，
即（8-4t）：4=4：t，
整理t²-2t+4=0，
∵△=4-16＜0，
∴原方程無解；
②當(dāng)2＜t≤5，即點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸上時(shí)，
CP=t，BQ=4t，OQ=BQ-OB=4t-8．
若△QOC∽△PCO，則OQ：CP=OC：CO，
∵OC=CO，∴OQ=CP，
∴4t-8=t，
解得t=

8

3

；
若△QOC∽△OCP，則OQ：CO=OC：CP，
即（4t-8）：4=4：t，
整理t²-2t-4=0，
解得t=1±

5

（負(fù)值舍去）．
綜上可知，當(dāng)t為

8

5

秒

8

3

秒或（1+

5

）秒時(shí)，以Q、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△PCO相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次方程的解法，垂徑定理，勾股定理及其逆定理，運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，切線的判定，相似三角形的判定．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分情況討論，這是解題的關(guān)鍵．