Question

如圖，C為以AB為直徑的⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為點D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=3，AC=3

5

，求⊙O的半徑長．

Answer 1

考點：切線的性質,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據等腰三角形的性質，可得∠ACO與∠CAO的關系，根據平行線的性質，可得∠DAC與∠ACO的關系，根據等量代換，可得答案；
（2）根據勾股定理，可得AD的長，根據等腰三角形的性質，可得AE與AC的關系，根據相似三角形的判定與性質，可得答案．

解答：（1）證明：連結OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO （等腰三角形，兩底角相等）
∵CD切⊙O于C，
∴CO⊥CD，
又∵AD⊥CD
∴AD∥CO
∴∠DAC=∠ACO （兩直線平行，內錯角相等）
∴∠DAC=∠CAO（等量代換）
∴AC平分∠BAD；
（2）過點E畫OE⊥AC于E，
在Rt△ADC中，AD=

(3 5 )2-33

=6
∵OE⊥AC，∴AE=

1

2

AC=

3 5

2

∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=Rt∠
∴△AEO∽△ADC
∴

AE

AD

=

AO

AC

  即

3 5 2

6

=

AO

3 5

∴AO=

15

4

  
 即⊙O的半徑為

15

4

．

點評：本題考查了切線的性質，（1）利用了切線的性質，等腰三角形的性質，平行線的性質；（2）利用了勾股定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質．