Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，點P是直線EF、GH之間任意一點，連接PE、PF、PG、PH，則圖中陰影面積（△PEF和△PGH的面積和）等于（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 根據題目數據可以證明△AEF與△CGH全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根據兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形EGHF是平行四邊形，所以△PEF和△PGH的面積和等于平行四邊形EGHF的面積的一半，再利用平行四邊形EGHF的面積等于矩形ABCD的面積減去四周四個小直角三角形的面積即可求解．

解答 解：連接EG，FH，
∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，
∴AE=AB-BE=4-1=3，
CH=CD-DH=4-1=3，
∴AE=CH，
在△AEF與△CGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CH}\\{∠A=∠C=90°}\\{AF=CG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF=GH，
同理可得，△BGE≌△DFH，
∴EG=FH，
∴四邊形EGHF是平行四邊形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于點H到直線EF的距離，
∴△PEF和△PGH的面積和=$\frac{1}{2}$×平行四邊形EGHF的面積，
平行四邊形EGHF的面積
=4×6-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×（6-2）-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×（6-2），
=24-3-2-3-2，
=14，
∴△PEF和△PGH的面積和=$\frac{1}{2}$×14=7．
故選：A．

點評 本題考查了矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，作出輔助線并證明出四邊形EGHF是平行四邊形是解題的關鍵．