Question

12．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式和∠ABC的度數(shù)；
（3）在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP∽△CBA？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求∠ABC的度數(shù)；
（3）利用相似三角形的性質(zhì)得出BP的長(zhǎng)，再求出OD的長(zhǎng)進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，-3）代入拋物線解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為：y=x²-2x-3；

（2）由（1）得：0=x²-2x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，故B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+d=0}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
故直線BC的解析式為：y=x-3，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BO=OC=3，
∴∠ABC=45°；

（3）存在一點(diǎn)P，使△ABP∽△CBA
連接AP、AC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵△ABP∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$，
∵BO=OC=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{BP}{4}$，
解得：BP=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
由題意可得：PD∥OC，
∴DB=DP=$\frac{8}{3}$，
∴OD=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
則P（$\frac{1}{3}$，-$\frac{8}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式等知識(shí)，正確利用數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．