Question

已知拋物線m：y=ax²+bx+c （a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在左），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M，拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)如下表：

x	…	-2		2	3	…
y	…	5	-3	-3		…

（1）根據(jù)表中的各對(duì)對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)寫出三條與上述拋物線m有關(guān)（不能直接出現(xiàn)表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值）的不同類型的正確結(jié)論；
（2）若將拋物線m，繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，試寫出旋轉(zhuǎn)后拋物線n的解析式，并在坐標(biāo)系中畫出拋物線m、n的草圖；
（3）若拋物線n的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)為E、F（點(diǎn)E、F分別與點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)），試問四邊形NFMB是何種特殊四邊形？并說明其理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）取三對(duì)對(duì)應(yīng)的x，y值代入y=ax²+bx+c，求得函數(shù)的解析式，問題的解．
（2）若將拋物線m，繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得n，則m和n關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，利用中心對(duì)稱的性質(zhì)問題的解．
（3）由圖形可知原點(diǎn)O是NM的中點(diǎn)，也是FB的中點(diǎn)．即NM，F(xiàn)B兩條對(duì)角線相互平分，所以NFMB的形狀可判定．
解答：解：（1）①拋物線開口向上；
②拋物線的對(duì)稱軸為x=1；
③拋物線的頂點(diǎn)M（1，-4）等．

（2）拋物線m，n如圖1所示，并易得
A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
設(shè)拋物線m的解析式為y=a（x+1）（x-3），
已知拋物線過C（0，-3），則有：
-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴拋物線m的解析式為：y=x²-2x-3．
若將拋物線m，繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得n，則m和n關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，
∴拋物線n的頂點(diǎn)是N（-1，4），和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是E（1，0），F(xiàn)（-3，0），
∴拋物線n的解析式為：y=-（x+1）²+4，
即：y=-x²-2x+3；

（3）如圖2，四邊形NFMB是平行四邊形．
理由：
∵N與M關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，
∴原點(diǎn)O是NM的中點(diǎn)，同理，原點(diǎn)O也是FB的中點(diǎn)．
∴四邊形NFMB是平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義、圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱解析式的求解，稱綜合性強(qiáng)．