Question

【題目】已知，如圖，P為△ABC中線AD上一點，AP：PD=2：1，延長BP、CP分別交AC、AB于點E、F，EF交AD于點Q．（1）PQ=EQ；（2）FP：PC=EC：AE；（3）FQ：BD=PQ：PD；（4）S△FPQ：S△DCP=SPEF：S△PBC．上述結論中，正確的有_________．

Answer 1

【答案】（3）（4）

【解析】解：延長PD到M，使DM=PD，連接BM、CM，∵AD是中線，∴BD=CD，

∴四邊形BPCM是平行四邊形，∴BP∥MC，CP∥BM，即PE∥MC，PF∥BM，

∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，∴AF：AB=AE：AC，

∴EF∥BC；∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，∴FQ：BD=EQ：CD，

∴FQ=EQ，而PQ與EQ不一定相等，故（1）錯誤；

∵△△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，

∴PF：PC=AE：AC，故（2）錯誤；∵△PFQ∽△PCD∴FQ：CD=PQ：PD，

∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正確；∵EF∥BC，∴S△FPQ：S△DCP=（）2，S△PEF：S△PBC=（）2，∴S△FPQ：S△DCP=SPEF：S△PBC．故（4）正確．

故答案為：（3）（4）．