Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D為AB的中點(diǎn)，∠EDF=90°，DE交AC于點(diǎn)G，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

（1）求∠ADE的度數(shù)；

（2）如圖2，將圖1中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角（），旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的任意兩個(gè)位置分別記為∠E1DF1，∠E2DF2 ， DE1交直線(xiàn)AC于點(diǎn)P，DF1交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q，DE2交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M，DF2交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，求的值；

（3）若圖1中∠B=，（2）中的其余條件不變，判斷的值是否為定值，如果是，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)值（用含的式子表示）；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）30°；（2）；（3）是定值，值為．

【解析】

試題分析：（1）由D為AB的中點(diǎn)，得到CD=DB，∠DCB=∠B，進(jìn)一步得到∠DCB=∠B=∠CDB=60°，可以求得∠ADE=30°；

（2）先證△PMD∽△QND，過(guò)點(diǎn)D分別做DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，可得，再證四邊形CGDH 為矩形，得到CG=DH=AG，故有，即；

（3）是定值，值為．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD=DB，∴∠DCB=∠B，∵∠B=60°，∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°，∴∠CDA=120°，∵∠EDC=90°，∴∠ADE=30°；

（2）∵∠C=90°，∠MDN=90°，∴∠DMC+∠CND=180°，∵∠DMC+∠PMD=180°，∴∠CND=∠PMD，同理∠CPD=∠DQN，∴△PMD∽△QND，過(guò)點(diǎn)D分別做DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，可知DG， DH分別為△PMD和△QND的高，∴，∵DG⊥AC于G， DH⊥BC于H，∴DG ∥BC，∵D為AC中點(diǎn)，∴G為AC中點(diǎn)，∵∠C=90°，∴四邊形CGDH 為矩形有CG=DH=AG，Rt△AGD中，，即；

（3）是定值，值為．

考點(diǎn)：相似三角形綜合題．