【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,過點C的直線與AB的延長線交于點P ACPC,∠COB2PCB

1)求證:PC是⊙O的切線;

2)求證:BCAB;

3)點M是弧AB的中點,CMAB于點N,若AB8,求MN·MC的值.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(332

【解析】

1)已知C在圓上,故只需證明OCPC垂直即可;根據(jù)圓周角定理,易得∠PCB+OCB=90°,即OCCP;故PC是⊙O的切線;
2AB是直徑;故只需證明BC與半徑相等即可;
3)連接MA,MB,由圓周角定理可得∠ACM=BCM,進而可得MBN∽△MCB,故BM2=MNMC;代入數(shù)據(jù)可得MNMC=BM2=8

1)證明:∵OA=OC,   

∴∠A=ACO

又∵∠COB=2A,∠COB=2PCB,  

∴∠A=ACO=PCB

又∵AB是⊙O的直徑   

 ∴∠ACO+OCB=90°

∴∠PCB+OCB=90°

OCCP,

OC是⊙O的半徑.   

 ∴PC是⊙O的切線.

2)證明:∵AC=PC,  

∴∠A=P

∴∠A=ACO=PCB=P

又∵∠COB=A+ACO,∠CBO=P+PCB

∴∠COB=CBO,    

BC=OC

3)解:連接MBMA

∵點M的中點,

∴∠ACM=BCM

∵∠ACM=ABM,  

∴∠BCM=ABM

又∵∠BMN=CMB,

∴△MBN∽△MCB

  

又∵AB是⊙O的直徑,

∴∴∠AMB=90°,AM=BM

AB=8,  

  

練習冊系列答案
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