Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，等邊△PQM的頂點(diǎn)P、Q在x軸上，點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合，且等邊△PQM的邊長為2時(shí)，求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，點(diǎn)M在（1）中的反比例函數(shù)圖象上，求等邊△PQM的邊長；
（3）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），在（1）中的反比例函數(shù)圖象上，符合題意的正△PQM恰好有三個(gè)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過M作MN⊥PQ于N，求出點(diǎn)M坐標(biāo)即可解決．
（2）分兩種情形討論①P在Q左邊如圖2，過M作MN⊥PQ于N，設(shè)△PQM的邊長為2a，則PN=$\frac{1}{2}$PQ=a，MN=$\sqrt{3}$a，得到M（1+a，$\sqrt{3}$a）或（-1-a，-$\sqrt{3}$a）再用待定系數(shù)法即可解決問題．②P在Q右邊．
（3）如圖3中，△PQ″M″是等邊三角形，當(dāng)直線PM″與雙曲線y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，符合題意的正△PQM恰好有三個(gè)，關(guān)鍵方程組，利用判別式即可解決．

解答 解：（1）如圖1，假設(shè)點(diǎn)M在第一象限，過M作MN⊥PQ于N，

∵△PQM是等邊三角形，
∴PN=$\frac{1}{2}$PQ=1，MN=$\sqrt{3}$，
∴M（1，$\sqrt{3}$），
∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上，
∴k=$\sqrt{3}$，
（當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，同法可得k=$\sqrt{3}$），
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）①當(dāng)P在Q左邊，如圖2，過M作MN⊥PQ于N，

∵△PQM是等邊三角形，
設(shè)△PQM的邊長為2a，
∴PN=$\frac{1}{2}$PQ=a，MN=$\sqrt{3}$a，
∴M（1+a，$\sqrt{3}$a），或（-1-a，-$\sqrt{3}$a），
∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴（1+a）•$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$，
解得：a=|$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$|，
∴等邊△PQM的邊長為$\sqrt{5}$+1，或$\sqrt{5}$-1；
②當(dāng)P在Q右邊時(shí)，同法可得M（1-a.$\sqrt{3}$a），
∴（1-a）•$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$，整理得a²-a+1=0，△＜0不存在．

（3）如圖3中，△PQ″M″是等邊三角形，

當(dāng)直線PM″與雙曲線y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，符合題意的正△PQM恰好有三個(gè)，
∵直線PM″的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$消去y得到x²-tx+1=0，
由題意△=0，
∴t²-4=0
∴t=±2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、方程組、根的判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用方程組確定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，屬于中考?jí)狠S題．