【題目】(探索發(fā)現(xiàn))

如圖①,是一張直角三角形紙片,,小明想從中剪出一個(gè)以為內(nèi)角且面積最大的矩形,經(jīng)過(guò)多次操作發(fā)現(xiàn),當(dāng)沿著中位線、剪下時(shí),所得的矩形的面積最大,隨后,他通過(guò)證明驗(yàn)證了其正確性,并得出:矩形的最大面積與原三角形面積的比值為_____________

(拓展應(yīng)用)

如圖②,在中,,邊上的高,矩形的頂點(diǎn)、分別在邊、上,頂點(diǎn)、在邊上,則矩形面積的最大值為_________.(用含的代數(shù)式表示)

(靈活應(yīng)用)

如圖③,有一塊缺角矩形,,,,,小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形(為所剪出矩形的內(nèi)角),求該矩形的面積.

(實(shí)際應(yīng)用)

如圖④,現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料,經(jīng)測(cè)量,,,且,,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)、在邊上且面積最大的矩形,求該矩形的面積.

【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】;【拓展應(yīng)用】;【靈活應(yīng)用】720;【實(shí)際應(yīng)用】2205cm2

【解析】

(1)【探索發(fā)現(xiàn)】:由中位線知EF=BC、ED=AB、由 可得結(jié)論;
(2)【拓展應(yīng)用】:設(shè)PN=b,證明APN∽△ABC,表示PQ的長(zhǎng),根據(jù)矩形的面積公式得:S=bPQ=+bh,根據(jù)二次函數(shù)求最值即可;
(3)【靈活應(yīng)用】:添加如圖1輔助線,取BF中點(diǎn)I,FG的中點(diǎn)K,由矩形性質(zhì)知AE=EH=20、CD=DH=16,分別證AEF≌△HEDCDG≌△HDEAF=DH=16、CG=HE=20,從而判斷出中位線IK的兩端點(diǎn)在線段ABDE上,利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可;
(4)【實(shí)際應(yīng)用】:延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)EEHBC于點(diǎn)H,由tanBtanCBHCH、EH的長(zhǎng),繼而求得BECE的長(zhǎng),可判斷中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段ABCD上,利用【拓展應(yīng)用】結(jié)論解答可得.

(1)【探索發(fā)現(xiàn)】:設(shè)EF=xED=y,
EF、EDABC中位線,
EDAB,EFBCEF=BC,ED=AB,
AB=2ED=2yBC=2EF=2x,
又∠B=90°
∴四邊形FEDB是矩形,

故答案為:;
(2)【拓展應(yīng)用】:設(shè)PN=b
PNBC,
∴△APN∽△ABC,
,
BC=aBC邊上的高AD=h,
PQ=,
S=bPQ=+bh
S的最大值為: ;
則矩形PQMN面積的最大值為;
故答案為:;

(3)【靈活應(yīng)用】:如圖1,延長(zhǎng)BA、DE交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)AE、CD交于點(diǎn)H,取BF中點(diǎn)I,FG的中點(diǎn)K,

由題意知四邊形ABCH是矩形,
AB=32BC=40,AE=20,CD=16,
EH=20、DH=16,
AE=EH、CD=DH
在△AEF和△HED中,

∴△AEF≌△HEDASA),
AF=DH=16
同理△CDG≌△HDE,
CG=HE=20,
BI==24,
BI=2432
∴中位線IK的兩端點(diǎn)在線段ABDE上,
過(guò)點(diǎn)KKLBC于點(diǎn)L
由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為×BGBF=×40+20×32+16=720,
答:該矩形的面積為720;

(4)【實(shí)際應(yīng)用】:如圖2,延長(zhǎng)BACD交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)EEHBC于點(diǎn)H,


tanB=,
設(shè)EH=4x,BH=3x,
tanC=2=,
CH=2x,
BC=BH+CH=105=3x+2x,x=21,
BH=63,CH=42EH=84,
由勾股定理得:BE=
AB=60,
AE=45,
BE的中點(diǎn)Q在線段AB上,
CD=70,
CE的中點(diǎn)P在線段CD上,
∴中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD上,
由【拓展應(yīng)用】知,矩形PQMN的最大面積為BCEH=×105×84=2205cm2,
答:該矩形的面積為2205cm2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)的長(zhǎng)為π,求“回旋角”∠CPD的度數(shù);

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A.B.C.D.

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組別

成績(jī)分組(單位:分)

頻數(shù)

A

50x60

40

B

60x70

a

C

70x80

90

D

80x90

b

E

90x100

100

合計(jì)

c

根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:

(1)統(tǒng)計(jì)表中a   b   ,c   

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m的值為   ,“E”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是    ();

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