Question

【題目】（探索發(fā)現(xiàn)）

如圖①，是一張直角三角形紙片，，小明想從中剪出一個(gè)以為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過(guò)多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線、剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過(guò)證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為_____________．

（拓展應(yīng)用）

如圖②，在中，，邊上的高，矩形的頂點(diǎn)、分別在邊、上，頂點(diǎn)、在邊上，則矩形面積的最大值為_________．（用含的代數(shù)式表示）

（靈活應(yīng)用）

如圖③，有一塊“缺角矩形”，，，，，小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形（為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積．

（實(shí)際應(yīng)用）

如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料，經(jīng)測(cè)量，，，且，，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)、在邊上且面積最大的矩形，求該矩形的面積．

Answer 1

【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】；【拓展應(yīng)用】；【靈活應(yīng)用】720；【實(shí)際應(yīng)用】2205cm2．

【解析】

（1）【探索發(fā)現(xiàn)】：由中位線知EF=BC、ED=AB、由 可得結(jié)論；
（2）【拓展應(yīng)用】：設(shè)PN=b，證明△APN∽△ABC，表示PQ的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的面積公式得：S=bPQ=+bh，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可；
（3）【靈活應(yīng)用】：添加如圖1輔助線，取BF中點(diǎn)I，FG的中點(diǎn)K，由矩形性質(zhì)知AE=EH=20、CD=DH=16，分別證△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，從而判斷出中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上，利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可；
（4）【實(shí)際應(yīng)用】：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，由tanB和tanC得BH和CH、EH的長(zhǎng)，繼而求得BE和CE的長(zhǎng)，可判斷中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD上，利用【拓展應(yīng)用】結(jié)論解答可得．

（1）【探索發(fā)現(xiàn)】：設(shè)EF=x，ED=y，
∵EF、ED為△ABC中位線，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，
∴AB=2ED=2y，BC=2EF=2x，
又∠B=90°，
∴四邊形FEDB是矩形，
則 ，
故答案為：；
（2）【拓展應(yīng)用】：設(shè)PN=b，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∵BC=a，BC邊上的高AD=h，
∴ ，PQ=，
∴S=bPQ=+bh，
∴S的最大值為： ；
則矩形PQMN面積的最大值為；
故答案為：；

（3）【靈活應(yīng)用】：如圖1，延長(zhǎng)BA、DE交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AE、CD交于點(diǎn)H，取BF中點(diǎn)I，FG的中點(diǎn)K，

由題意知四邊形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20、DH=16，
∴AE=EH、CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵ ，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI==24，
∵BI=24＜32，
∴中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上，
過(guò)點(diǎn)K作KL⊥BC于點(diǎn)L，
由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為×BGBF=×（40+20）×（32+16）=720，
答：該矩形的面積為720；

（4）【實(shí)際應(yīng)用】：如圖2，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，

∵tanB=，
設(shè)EH=4x，BH=3x，
∵tanC=2=，
∴CH=2x，
∵BC=BH+CH=105=3x+2x，x=21，
∴BH=63，CH=42，EH=84，
由勾股定理得：BE=，
∵AB=60，
∴AE=45，
∴BE的中點(diǎn)Q在線段AB上，
∵CD=70，
∴CE的中點(diǎn)P在線段CD上，
∴中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD上，
由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的最大面積為BCEH=×105×84=2205cm2，
答：該矩形的面積為2205cm2．