【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),點P是線段AB上異于A、B的動點,過點P作PC⊥x軸于點D,交拋物線于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點,使線段PC的長有最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;
(3)假若△PAC為直角三角形,直接寫出點P坐標(biāo)。
【答案】(1)y=2x2-8x+6(2)存在, (3)(3,5)
【解析】
(1)已知B(4,m)在直線y=x+2上,可求得m的值,拋物線圖象上的A、B兩點坐標(biāo),可將其代入拋物線的解析式中,通過待定系數(shù)法即可求得解析式;
(2)設(shè)出P點橫坐標(biāo),根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo),進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,化成頂點式即可;
(3)當(dāng)△PAC為直角三角形時,根據(jù)直角頂點的不同,有三種情形,需要分類討論,分別求解.
(1)∵B(4,m)在直線y=x+2上,
∴m=4+2=6,
∴B(4,6),
∵A(,),B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上,
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為y=2x28x+6;
(2)設(shè)動點P的坐標(biāo)為(n,n+2),則C點的坐標(biāo)為(n,2n28n+6),
∴PC=(n+2)(2n28n+6)=2n2+9n4=2(n)2+,
∵PC>0,
∴當(dāng)n=時,線段PC最大且為;
(3)∵△PAC為直角三角形,
i)若點P為直角頂點,則∠APC=90°.
由題意易知,PC∥y軸,∠APC=45°,因此這種情形不存在;
ii)若點A為直角頂點,則∠PAC=90°.
如圖1,
過點A(,)作AN⊥x軸于點N,則ON=,AN=,
過點A作AM⊥直線AB,交x軸于點M,
則由題意易知,△AMN為等腰直角三角形,
∴MN=AN=,
∴OM=ON+MN=+=3,
∴M(3,0).
設(shè)直線AM的解析式為:y=kx+b,
則:,
解得,
∴直線AM的解析式為:y=x+3 ①
又拋物線的解析式為:y=2x28x+6 ②
聯(lián)立①②式,解得:x=3或x=(與點A重合,舍去)
∴C(3,0),即點C、M點重合;
當(dāng)x=3時,y=x+2=5,
∴P1(3,5);
iii)若點C為直角頂點,則∠ACP=90°.
∵y=2x28x+6=2(x2)22,
∴拋物線的對稱軸為直線x=2.
如圖2,作點A(,))關(guān)于對稱軸x=2的對稱點C,
則點C在拋物線上,且C(,),
當(dāng)x=時,y=x+2=,
∴P2(,).
∵點P1(3,5)、P2(,)均在線段AB上,
∴綜上所述,△PAC為直角三角形時,點P的坐標(biāo)為(3,5)或(,).
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【題目】某商場用14500元購進(jìn)甲、乙兩種礦泉水共500箱,礦泉水的成本價與銷售價如表(二)所示:
類別 | 成本價(元/箱) | 銷售價(元/箱) |
甲 | 25 | 35 |
乙 | 35 | 48 |
求:(1)購進(jìn)甲、乙兩種礦泉水各多少箱?
(2)該商場售完這500箱礦泉水,可獲利多少元?
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 如果一件事不可能發(fā)生,那么它是必然事件,即發(fā)生的概率是
B. 不太可能發(fā)生的事情的概率不為
C. 若一件事情肯定發(fā)生,則其發(fā)生的概率
D. 概率很大的事情必然發(fā)生
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的解析式為:y=kx+x﹣k+1,若將直線l繞A點旋轉(zhuǎn).如圖所示,當(dāng)直線l旋轉(zhuǎn)到l1位置時,k=2且l1與y軸交于點B,與x軸交于點C;當(dāng)直線l旋轉(zhuǎn)到l2位置時,k=﹣且l2與y軸交于點D
(1)求點A的坐標(biāo);
(2)直接寫出B、C、D三點的坐標(biāo),連接CD計算△ADC的面積;
(3)已知坐標(biāo)平面內(nèi)一點E,其坐標(biāo)滿足條件E(a,a),當(dāng)點E與點A距離最小時,直接寫出a的值.
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【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過矩形ABCD的兩個頂點A、B,AB平行于x軸,對角線BD與拋物線交于點P,點A的坐標(biāo)為(0,2),AB=4.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若S△APO=,求矩形ABCD的面積.
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【題目】在△ABC 中,AB=AC,點D 在底邊BC 上,AE=AD,連接 DE.
(1)如圖①,已知∠BAC=90°,∠BAD=60°,求 ∠CDE 的度數(shù);
(2)如圖①,已知∠BAC=90°,當(dāng)點D 在線段BC(點B,C 除外)上運動時,試探究∠BAD與 ∠CDE 的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖②,若 ∠BAC≠90°,試探究∠BAD與 ∠CDE 的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖所示,學(xué)校準(zhǔn)備在教師周轉(zhuǎn)房旁邊搭建一個簡易矩形摩托車車棚,一邊利用教學(xué)樓的后墻(可利用的墻長為19m),另外三邊利用學(xué),F(xiàn)有總長38m的鐵欄圍成.
(1)若圍成的面積為180m2,試求出摩托車車棚的長和寬;
(2)能圍成的面積為200m2摩托車車棚嗎?如果能,請你給出設(shè)計方案;如果不能,請說明理由.
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【題目】已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中,點A、點B分別在x軸、y軸的正半軸上,點C在第一象限,∠ACB=90°,AC=BC,點A坐標(biāo)為(m,0),點C橫坐標(biāo)為n,且m2+n2﹣2m﹣8n+17=0.
(1)分別求出點A、點B、點C的坐標(biāo);
(2)如圖(2),點D為邊AB中點,以點D為頂點的直角∠EDF兩邊分別交邊BC于E,交邊AC于F,①求證:DE=DF;②求證:S四邊形DECF=S△ABC;
(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)有點G(點G不與點A重合),使得△BCG是以BC為直角邊的等腰直角三角形,請直接寫出滿足條件的點G的坐標(biāo).
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【題目】古希臘時期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是黃金分割比(黃金分割比0.618)著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是黃金分割比.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為103cm,頭頂至脖子下端的長度為25cm,則其身高可能是( )
A.165cmB.170cmC.175cmD.180cm
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