(2013•青島)已知:如圖,?ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AD方向勻速運(yùn)動,速度為3cm/s;點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CD方向勻速運(yùn)動,速度為1cm/s,連接并延長QP交BA的延長線于點(diǎn)M,過M作MN⊥BC,垂足是N,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)(0<t<1)
解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形AQDM是平行四邊形?
(2)設(shè)四邊形ANPM的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式:
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,說明理由.
(4)連接AC,是否存在某一時(shí)刻t,使NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成
2
:1的兩部分?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得出AP=DP,代入求出即可;
(2)求出AP和MN的值,根據(jù)三角形的面積公式求出即可;
(3)假設(shè)存在某一時(shí)刻t,四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半.根據(jù)(2)中求出的關(guān)系式,列方程求出t的值;
(4)假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成
2
:1
的兩部分,證△APW∽△CNW,得出
AP
CN
=
AW
CW
,代入求出即可.
解答:解:(1)∵當(dāng)AP=PD時(shí),四邊形AQDM是平行四邊形,
即3t=3-3t,
t=
1
2
,
∴當(dāng)t=
1
2
s時(shí),四邊形AQDM是平行四邊形.

(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
∴△AMP∽△DQP,
AM
DQ
=
AP
PD
,
AM
1-t
=
3t
3-3t
,
∴AM=t,
∵M(jìn)N⊥BC,
∴∠MNB=90°,
∵∠B=45°,
∴∠BMN=45°=∠B,
∴BN=MN,
∵BM=1+t,
在Rt△BMN中,由勾股定理得:BN=MN=
2
2
(1+t),
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∵M(jìn)N⊥BC,
∴MN⊥AD,
∴y=
1
2
×AP×MN
=
1
2
•3t•
2
2
(1+t)
即y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為y=
3
2
4
t2+
3
2
4
t(0<t<1).

(3)假設(shè)存在某一時(shí)刻t,四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半.
此時(shí)
3
2
4
t2+
3
2
4
t=
1
2
×3×
2
2

整理得:t2+t-1=0,
解得t1=
5
-1
2
,t2=
-
5
-1
2
(舍去)
∴當(dāng)t=
5
-1
2
s時(shí),四邊形ANPM的面積是平行四邊形ABCD的面積的一半.

(4)存在某一時(shí)刻t,使NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成
2
:1
的兩部分,
理由是:假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成
2
:1
的兩部分,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∴△APW∽△CNW,
AP
CN
=
AW
CW
,
3t
3-
2
2
(t+1)
=
2
1
3t
3-
2
2
(t+1)
=
1
2
,
∴t=
3
2
-1
4
3
2
-1
7
,
∵兩數(shù)都在0<t<1范圍內(nèi),即都符合題意,
∴當(dāng)t=
3
2
-1
4
s或
3
2
-1
7
s時(shí),NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成
2
:1
的兩部分.
點(diǎn)評:本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,平行四邊形的性質(zhì),解直角三角形,勾股定理的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力,本題綜合性比較強(qiáng),有一定的難度.
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結(jié)論:BE=DE.

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