Question

【題目】已知：如圖所示，在平面直角坐標系中，.若點是邊上的一個動點（與點不重合），過點作交于點.

（1）求點的坐標；

（2）當的周長與四邊形的周長相等時，求的長；

（3）在上是否存在點，使得為等腰直角三角形？若存在，請求出此時的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）C（16，﹣12）；（2）；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）如圖1，過C作CH⊥OB于H，根據(jù)勾股定理得到BC=，根據(jù)三角形的面積公式得到CH=，由勾股定理得到OH=，則得到結(jié)論；

（2）∵根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)CM=x，則CN=x，根據(jù)已知條件列方程即可得到結(jié)論；

（3）如圖2，由（2）知，當CM=x，則CN=x，MN=x，①當∠OMQ1=90°MN=MQ時，②當∠MNQ2=90°，MN=NQ2時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）如圖1，過C作CH⊥OB于H，

∵∠C=90°，OB=25，OC=20，∴BC=，

∵S△OBC=OBCH=OCBC，∴CH=，

∴OH=，∴C（16，﹣12）；

（2）∵MN∥OB，∴△CNM∽△COB，∴，

設(shè)CM=x，則CN=x，

∵△MCN的周長與四邊形OMNB的周長相等，

∴CM+CN+MN=OM+MN+OB，即x+x+MN=20﹣x+mn+15﹣x+25，

解得：x=，∴CM=；

（3）如圖2，由（2）知，當CM=x，則CN=x，MN=x，

①當∠OMQ1=90°MN=MQ時，

∵△OMQ∽△OBC，∴，

∵MN=MQ，∴，∴x=，

∴MN=x=×=；

②當∠MNQ2=90°，MN=NQ2時，

此時，四邊形MNQ2Q1是正方形，

∴NQ2=MQ1=MN，∴MN=．