Question

如圖，點A、F、C、D在同一直線上，點B和點E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）若BC=BF=5，AF=2，CF=6，求四邊形AEDB的面積．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易證得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）如圖，連接AE、BD，連接EB交CF于點O．結(jié)合（1）可以判定平行四邊形BCEF為菱形，則菱形的對角線互相平分、垂直．在直角△BOF中，由勾股定理得到：BO=4．根據(jù)三角形的面積公式可以求得四邊形AEDB的面積．

解答：（1）證明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，

AB=DE   ∠A=∠D   AC=DF

，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四邊形BCEF是平行四邊形；

（2）解：如圖，連接AE、BD，連接EB交CF于點O．
由（1）知，四邊形BCEF是平行四邊形．
∵BC=BF，
∴平行四邊形BCEF為菱形，
∴EB⊥FC，F(xiàn)O=OC=

1

2

FC=3．
∴在直角△BOF中，由勾股定理得到：BO=

BF2-FO2

=

52-32

=4，
∴BE=2BO=8．
又∵AF=DC，
∴AD=2AF+FC=10，
∴S_{四邊形AEDB}=S_△ABD+S_△AED=

1

2

AD•BO+

1

2

AD•EO=

1

2

AD•BE=

1

2

×10×8=40，即四邊形AEDB的面積是40．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．