Question

如圖所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B．把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，一拋物線過點B、C和D，點D與點B關于直線y=x對稱．
（1）求點D的坐標．
（2）求直線BD和拋物線的解析式．
（3）若直線BD與拋物線的對稱軸交于點M，點N在坐標軸上，以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點N的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,軸對稱的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)直線上點的坐標特征可求出點A、B的坐標，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可求出點C、D的坐標；
（2）只需運用待定系數(shù)法就可求出直線BD和拋物線的解析式；
（3）易求出點M的坐標，從而可證到△MCD是等腰直角三角形，進而可得到與△MCD相似的△NBD也是等腰直角三角形，然后只需分三種情況（①∠NBD=90°，②∠BDN=90°，③∠BND=90°）討論，就可解決問題．

解答：解：（1）∵直線y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A（-1，0）、點B（0，3）．
∵△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，
∴點C（1，0）．
∵點D與點B關于直線y=x對稱，
∴點D（3，0）；

（2）設直線BD的解析式為y=mx+n，
則有

n=3 3m+n=0

，
解得：

m=-1 n=3

，
∴直線BD的解析式為y=-x+3．
設過點B、C和D的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則有

c=3 a+b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴過點B、C和D的拋物線的解析式為y=x²-4x+3；

（3）∵拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

=-

-4

2×1

=2，
∴x_M=2．
∵點M在直線y=-x+3上，
∴y_M=-2+3=1，
∴點M的坐標為（2，1），
∴OH=2，MH=1，
∴CH=DH=MH=1，
∴∠MCH=∠HMC=∠HMD=∠HDM=45°，
∴∠CMD=90°，
∴△CMD是等腰直角三角形．
∵△NBD與△CMD相似，
∴△NBD是等腰直角三角形．
①當∠NBD=90°時，
∵BN=BD，BO⊥DN，
∴ON=OD=3，
∴點N₁（-3，0）；
②當∠BDN=90°時，
∵DB=DN，DO⊥BN，
∴ON=OB=3，
∴點N₂（O，-3）；
③當∠BND=90°時，
此時點N與點O重合，
∴點N₃（O，0），
∴符合條件的點N的坐標為（-3，0）或（0，-3）或（0，0）．

點評：本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、運用待定系數(shù)法求直線和拋物線的解析式、相似三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直線上點的坐標特征等知識，證到△NBD是等腰直角三角形并進行分類討論是解決第（3）小題的關鍵．