【題目】綜合題
(1)如圖1,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點B、C)上任意一點,P是BC延長線上一點,N是∠DCP的平分線上一點.若∠AMN=90°,求證:AM=MN.
下面給出一種證明的思路,你可以按這一思路證明,也可以選擇另外的方法證明.
證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE.
(下面請你完成余下的證明過程)

(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2),N是∠ACP的平分線上一點,則∠AMN=60°時,結論AM=MN是否還成立?請說明理由.

(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X,請你作出猜想:當∠AMN=時,結論AM=MN仍然成立.(直接寫出答案,不需要證明)

【答案】
(1)證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.

∵正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE,

BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM,

∴∠BEM=45°,∴∠AEM=135°.

∵N是∠DCP的平分線上一點,

∴∠NCP=45°,∴∠MCN=135°.

在△AEM與△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN,

∴△AEM≌△MCN(ASA),

∴AM=MN


(2)解:結論AM=MN還成立

證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.

在正△ABC中,∠B=∠BCA=60°,AB=BC.

∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAE,

BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM,

∴∠BEM=60°,∴∠AEM=120°.

∵N是∠ACP的平分線上一點,

∴∠ACN=60°,∴∠MCN=120°.

在△AEM與△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN,

∴△AEM≌△MCN(ASA),

∴AM=MN


(3)解:若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X,則當∠AMN= 時,結論AM=MN仍然成立.
【解析】(1)根據(jù)正方形的性質四邊相等,四角都是90°,得到△AEM≌△MCN,根據(jù)全等三角形的對應邊相等,得到AM=MN;(2)根據(jù)正三角形的性質三個角都是60°,三邊相等,得到△AEM≌△MCN,得到AM=MN;(3)根據(jù)規(guī)律得到當∠AMN=(n2)·180°÷n時,結論AM=MN仍然成立.

練習冊系列答案
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