Question

19．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，過點E作EF⊥AE，交CD于點F，連接AF并延長，交BC的延長線于點G．則CG的長為（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC，∠B=∠BCD=∠BCD=90°，由正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，得到AB=BC=4，BE=CE=2，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAE=∠CEF，推出△ABE∽△CEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BE}{CF}$=2，求得CF=1，通過△GCF∽△GBA，求得CG=$\frac{4}{3}$．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠BCD=90°，
∵正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，
∴AB=BC=4，BE=CE=2，
∵EF⊥AE，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△CEF，
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BE}{CF}$=2，
∴CF=1，
∵CD∥AB，
∴△GCF∽△GBA，
∴$\frac{CF}{AB}=\frac{CG}{BG}$，即$\frac{1}{4}=\frac{CG}{4+CG}$，
∴CG=$\frac{4}{3}$．
故選C．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．