Question

19．如圖，E是正方形ABCD內一點，EA=AB=BE．延長DE交BC于F，FG⊥BE于G．求證：EG=FG．

Answer 1

分析 根據已知條件可知△ABE是等邊三角形，△ADE是等腰三角形，進而可以求出∠FEG=45°即可解決問題．

解答 證明：∵EA=AB=BE，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠EAB=∠AEB=60°
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=AD
∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=90°-60°=30°，
∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠FEG=180°-∠AED-∠AEB=45°，
∵FG⊥BE，
∴∠EGF=90°，
∴∠EFG=90°-∠FEG=45°，
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG．

點評 本題考查等邊三角形性質、正方形性質、等腰三角形性質等知識，求出∠GEF=45°是解題的關鍵．