【題目】黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性,蘊藏著豐富的美學(xué)價值。黃金分割是指將整體一分為二,較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值,其比值約為0.618。這個比值,被稱為黃金分割數(shù)。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚普及并做出重要貢獻(xiàn)的優(yōu)選法中有一種0.618法也應(yīng)用了黃金分割數(shù)。
定義:點C在線段AB上,若滿足AC2=BCAB,則稱點C為線段AB的黃金分割點(如圖1).
如圖2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于點D.
(1)求證:點D是線段AC的黃金分割點;
(2)求出線段AD的長.
【答案】(1)詳見解析;(2)
【解析】試題分析:對于(1),根據(jù)題意推出圖中多組相等的角,于是有△BCD∽△ACB,利用相似三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)邊成比例;
通過推理可得圖中多個角的度數(shù),于是有BC=BD、BD=AD,進(jìn)而得到BC=AD,利用黃金分割點的定義證得結(jié)論;
對于(2),根據(jù)黃金分割點的定義可知AD2=ACCD,把CD換為(AC﹣AD),再將已知AC=1代入該式求出AD的長度.
解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°。
∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°。
∴AD=BD,BC=BD。
∴△ABC∽△BDC。
∴,即。
∴AD2=ACCD。
∴點D是線段AC的黃金分割點。
(2)由(1)AD2=ACCD,
即AD2=AC(AC﹣AD),AD2=1﹣AD,AD2+AD﹣1=0。
解得AD=(舍去負(fù)值)。
∴AD=。
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【題目】如圖,已知等腰三角形ABC的底角為30°,以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D,過D作DE⊥AC,垂足為E.
(1)證明:DE為⊙O的切線;
(2)連接OE,若BC=4,求△OEC的面積.
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【題目】已知蓄電池的電壓U為定值,使用蓄電池時,電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)是反比例函數(shù)關(guān)系,它的圖象如圖所示.
(1)求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過10A,那么用電器的可變電阻R應(yīng)控制在什么范圍?請根據(jù)圖象,直接寫出結(jié)果 .
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【題目】如圖,熱氣球在離地面800米的A處,在A處測得一大樓頂C的俯角是30°,熱氣球沿著水平方向向此大樓飛行400米后達(dá)到B處,從B處再次測得此大樓樓頂C的俯角是45°,求該大樓CD的高度.
參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73.
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【題目】如圖,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF.
(1)求證:AD平分∠BAC.
(2)寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,在的正方形方格中,每個小正方形的邊長都為1,頂點都在網(wǎng)格線交點處的三角形, 是一個格點三角形.
在圖中,請判斷與是否相似,并說明理由;
在圖中,以O為位似中心,再畫一個格點三角形,使它與的位似比為2:1
在圖中,請畫出所有滿足條件的格點三角形,它與相似,且有一條公共邊和一個公共角.
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【題目】已知四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC、BD交于點O,E是BC的中點,以下說法錯誤的是( )
A. OE=DC B. OA=OC C. ∠BOE=∠OBA D. ∠OBE=∠OCE
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【題目】如圖,某農(nóng)戶準(zhǔn)備建一個長方形養(yǎng)雞場,養(yǎng)雞場的一邊靠墻,墻對面有一個2m寬的門,另三邊用竹籬笆圍成,籬笆總長33m.圍成長方形的養(yǎng)雞場除門之外四周不能有空隙.
(1)若墻長為18m,要圍成養(yǎng)雞場的面積為150m2,則養(yǎng)雞場的長和寬各為多少?
(2)圍成養(yǎng)雞場的面積能否達(dá)到200m2?請說明理由
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