Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△OMN的面積為S，直線l運(yùn)動時(shí)間為t秒（0≤t≤6），試求S與t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在題（2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4？如果存在，請求出t的取值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根菱形性質(zhì)得出OA=AB=BC=CO=4，過A作AD⊥OC于D，求出AD、OD，即可得出答案；
（2）有三種情況：①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交，②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交，③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交，畫出圖形求出即可；
（3）分為以上三種情況，求出得到的方程的解，看看是否在所對應(yīng)的范圍內(nèi)，即可進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0），
∴OA=AB=BC=CO=4，
過A作AD⊥OC于D，
∵∠AOC=60°，
∴OD=2，AD=2

3

，
∴A（2，2

3

），B（6，2

3

）；

（2）直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：①如圖1，

當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交，
∵M(jìn)N⊥OC，
∴ON=t，
∴MN=ON•tan60°=

3

t，
∴S=

1

2

ON•MN=

3

2

t²；
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交，如圖2，

S=

1

2

ON•MN=

1

2

×t×2

3

=

3

t；
③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交，如圖3，

設(shè)直線l與x軸交于H，
MN=2

3

-

3

（t-4）=6

3

-

3

t，
∴S=

1

2

MN•OH=

1

2

•（6

3

-

3

t）t=-

3

2

t²+3

3

t；

（3）答：不存在，
理由是：假設(shè)存在某一時(shí)刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4，
菱形AOCB的面積是4×2

3

=8

3

①

3

2

t²：8

3

=3：4，
解得：t=±2

3

，
∵0≤t≤2，
∴此時(shí)不符合題意舍去；
②

3

t：8

3

=3：4，
解得：t=6（舍去）；
③（-

3

2

t²+3

3

t）：8

3

=3：4，
此方程無解．
綜合上述，不存在某一時(shí)刻，使得△OMN的面積與OABC的面積之比為3：4．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力．注意一定要進(jìn)行分類討論．