Question

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A（﹣3，0），B（2，0），C為y軸正半軸上一點，且BC=4．

（1）求∠OBC的度數；

（2）如圖2，點P從點A出發(fā)，沿射線AB方向運動，同時點Q在邊BC上從點B向點C運動，在運動過程中：

①若點P的速度為每秒2個單位長度，點Q的速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值；

②若點P，Q的運動路程分別是a，b，已知△PQB是等腰三角形時，求a與b滿足的數量關系．

Answer 1

【考點】一次函數綜合題．

【分析】（1）在OA上取一點D，根據等邊三角形的性質進行解答即可；

（2）①分∠PQB=90°時和∠QPB=90°時兩種情況進行解答即可；

②分a＜5和a＞5兩種情況，利用等腰三角形和等邊三角形的性質進行解答即可．

【解答】解：（1）如圖1：

在OA上取一點D，使得OD=OB，連接CD，則BD=2OB=4，

∵CO⊥BD，

∴CD=CB=4，

∴CD=CB=BD，

∴△DBC是等邊三角形，

∴∠OBC=60°；

（2）①由題意，得AP=2t，BQ=t，

∵A（﹣3，0），B（2，0），

∴AB=5，

∴PB=5﹣2t，

∵∠OBC=60°≠90°，

∴下面分兩種情況進行討論，

Ⅰ）如圖2：

當∠PQB=90°時，

∵∠OBC=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BQ=，

∴，

解得：t=；

Ⅱ）當∠QPB=90°時，如圖3：

∵∠OBC=60°，

∴∠BQP=30°，

∴PB=，

∴，

解得：t=2；

②如圖4：

當a＜5時，

∵AP=a，BQ=b，

∴BP=5﹣a，

∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，

∴△PQB是等邊三角形，

∴b=5﹣a，

即a+b=5，

如圖5：當a＞5時，

∵AP=a，BQ=b，

∴BP=a﹣5，

∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，

∴BP=BQ，

∴a﹣5=b，

即a﹣b=5．

【點評】本題是一次函數的綜合題，考查了一次函數圖象上點的坐標特征，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的應用等，根據題意作出圖形是解題的關鍵．