【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,拋物線y= x2+2x與x軸相交于O、B,頂點為A,連接OA.
(1)求點A的坐標和∠AOB的度數(shù);
(2)若將拋物線y= x2+2x向右平移4個單位,再向下平移2個單位,得到拋物線m,其頂點為點C.連接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′.試判斷其形狀,并說明理由;
(3)在(2)的情況下,判斷點C′是否在拋物線y= x2+2x上,請說明理由.
(4)若點P為x軸上的一個動點,試探究在拋物線m上是否存在點Q,使以點O、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形,且OC為該四邊形的一條邊?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由. (參考公式:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的頂點坐標為( , ),對稱軸是直線x= .)
【答案】
(1)
解:∵由y= x2+2x得,y= (x+2)2﹣2,
∴拋物線的頂點A的坐標為(﹣2,﹣2),
令 x2+2x=0,解得x1=0,x2=﹣4,
∴點B的坐標為(﹣4,0),
過點A作AD⊥x軸,垂足為D,
∴∠ADO=90°,
∴點A的坐標為(﹣2,﹣2),點D的坐標為(﹣2,0),
∴OD=AD=2,
∴∠AOB=45°;
(2)
解:四邊形ACOC′為菱形.
由題意可知拋物線m的二次項系數(shù)為 ,且過頂點C的坐標是(2,﹣4),
∴拋物線的解析式為:y= (x﹣2)2﹣4,即y= x2﹣2x﹣2,
過點C作CE⊥x軸,垂足為E;過點A作AF⊥CE,垂足為F,與y軸交與點H,
∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE﹣EF=2,
∴OC= =2 ,
同理,AC=2 ,OC=AC,
由翻折不變性的性質可知,OC=AC=OC′=AC′,
故四邊形ACOC′為菱形.
(3)
解:如圖1,點C′不在拋物線y= x2+2x上.
理由如下:
過點C′作C′G⊥x軸,垂足為G,
∵OC和OC′關于OA對稱,∠AOB=∠AOH=45°,
∴∠COH=∠C′OG,
∵CE∥OH,
∴∠OCE=∠C′OG,
又∵∠CEO=∠C′GO=90°,OC=OC′,
∴△CEO≌△C′GO,
∴OG=CE=4,C′G=OE=2,
∴點C′的坐標為(﹣4,2),
把x=﹣4代入拋物線y= x2+2x得y=0,
∴點C′不在拋物線y= x2+2x上;
(4)
解:
存在符合條件的點Q.
∵點P為x軸上的一個動點,點Q在拋物線m上,
∴設Q(a, (a﹣2)2﹣4),
∵OC為該四邊形的一條邊,
∴OP為對角線,
∴ =0,解得a1=6,a2=﹣2(舍去),
∴點Q的坐標為(6,4).
【解析】(1)由y= x2+2x得,y= (x+2)2﹣2,故可得出拋物線的頂點A的坐標,令 x2+2x=0得出點B的坐標過點A作AD⊥x軸,垂足為D,由∠ADO=90°可知點D的坐標,故可得出OD=AD,由此即可得出結論;(2)由題意可知拋物線m的二次項系數(shù)為 ,由此可得拋物線m的解析式過點C作CE⊥x軸,垂足為E;過點A作AF⊥CE,垂足為F,與y軸交與點H,根據(jù)勾股定理可求出OC的長,同理可得AC的長,OC=AC,由翻折不變性的性質可知,OC=AC=OC′=AC′,由此即可得出結論;(3)過點C′作C′G⊥x軸,垂足為G,由于OC和OC′關于OA對稱,∠AOB=∠AOH=45°,故可得出∠COH=∠C′OG,再根據(jù)CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG,根據(jù)全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO,故可得出點C′的坐標把x=﹣4代入拋物線y= x2+2x進行檢驗即可得出結論;(4)由于點P為x軸上的一個動點,點Q在拋物線m上,故設Q(a, (a﹣2)2﹣4),由于OC為該四邊形的一條邊,故OP為對角線,由于點P在x軸上,根據(jù)中點坐標的定義即可得出a的值,故可得出結論.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y1=ax+b(a,b為常數(shù),且a≠0)與反比例函數(shù)y2= (m為常數(shù),且m≠0)的圖象交于點A(﹣2,1)、B(1,n)
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)連接OA、OB,求△AOB的面積;
(3)直接寫出當y1<y2時,自變量x的取值范圍.
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【題目】為適應日益激烈的市場競爭要求,某工廠從2016年1月且開始限產,并對生產線進行為期5個月的升降改造,改造期間的月利潤與時間成反比例;到5月底開始恢復全面生產后,工廠每月的利潤都比前一個月增加10萬元.設2016年1月為第1個月,第x個月的利潤為y萬元,其圖象如圖所示,試解決下列問題:
(1)分別求該工廠對生產線進行升級改造前后,y與x之間的函數(shù)關系式;
(2)到第幾個月時,該工廠月利潤才能再次達到100萬元?
(3)當月利潤少于50萬元時,為該工廠的資金緊張期,問該工廠資金緊張期共有幾個月?
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【題目】今年“五一”節(jié),小明外出爬山,他從山腳爬到山頂?shù)倪^程中,中途休息了一段時間.設他從山腳出發(fā)后所用時間為t(分鐘),所走的路程為s(米),s與t之間的函數(shù)關系如圖所示.下列說法錯誤的是( 。
A. 小明中途休息用了20分鐘
B. 小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
C. 小明在上述過程中所走的路程為6600米
D. 小明休息前爬山的平均速度為每分鐘70米
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【題目】點B(a,5)在第二象限,點C在y軸上移動,以BC為斜邊作等腰直角△BCD,我們發(fā)現(xiàn)直角頂點D點隨著C點的移動也在一條直線上移動,這條直線的函數(shù)表達式是 .
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【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,點E、F分別是AB、CD的中點,過點E作AB的垂線,過點F作CD的垂線,兩垂線交于點G,連接AG、BG、CG、DG,且∠AGD=∠BGC.
(1)求證:AD=BC;
(2)求證:△AGD∽△EGF;
(3)如圖2 , 若AD、BC所在直線互相垂直,求的值.
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【題目】A、B、C三人玩籃球傳球游戲,游戲規(guī)則是:第一次傳球由A將球隨機地傳給B、C兩人中的某一人,以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機地傳給其他兩人中的某一人.
(1)求兩次傳球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次傳球后,球恰在A手中的概率.
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【題目】定義一種對正整數(shù)n的“F運算”:①當n為奇數(shù)時,結果為3n+5;②當n為偶數(shù)時,結果為(其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù));并且運算重復進行.例如,取n=26,第3次“F運算”的結果是11.則:若n=449,則第449次“F運算”的結果是____.
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