Question

已知：C為反比例函數(shù)上一動點，過點C作直線l⊥x軸于A點，連接OC，過C點作CD⊥OC交曲線于點D（D在C右側(cè)），連接OD，過D點作DB∥x軸交直線l于B點，S_△AOC=4．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)OA=4時，在直線l上是否存在異于C的點P，使△OPD為直角三角形？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）把△BCD沿CD翻折，當(dāng)B點恰好落在OD上時，四邊形OCBD的面積是否隨著點C的運動而發(fā)生變化？若不變，請求出其面積；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義，即可求得k的值；
（2）已知0A=4，則C的橫坐標是-4，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得C的坐標，根據(jù)OC與CD互相垂直，則兩直線的斜率互為負倒數(shù)，則CD的解析式即可求解，解CD得解析式與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組即可求得D的坐標，然后分O、P、D分別是直角頂點三種情況，利用互相垂直的直線，兩直線的斜率互為負倒數(shù)，即可求得P的坐標；
（3）把△BCD沿著CD翻折，點B與CD上點E重合，DC平分∠BDC，則Rt△AOC∽Rt△BCD，設(shè)C（m，n），即可利用m，n表示出四邊形的面積，據(jù)此即可求解．
解答：解：（1）設(shè)C的坐標為（m，n），m＜0，
|m||n|=4，
∴mn=±8，
∴k=xy=mn=±8．
∵反比例函數(shù)的圖象一個分支在第二象限，
∴k=-8；

（2）當(dāng)OA=4時，m=-4，則n==2，
∴C的坐標是：（-4，2）．
∵CD⊥OC，直線OC的斜率是：-，
∴CD的方程為y=2x+10，
∴當(dāng)k=-8時y=-，．
解方程組：，
解得：，
則D的坐標是：（-1，8）．
①若P（-4，y）為直角頂點時，OD的中點M為（-，4）
∵MP=OD，
∴=
則y-4=±2，∴y=6．（y=2舍去）
∴P（-4，6）；
②若D為直角頂點，則直線OD的斜率是-8，
∴PD的斜率是．
則直線PD的解析式是：y=x+
∴當(dāng)x=-4時，y=，
∴P（-4，）；
③O為直角頂點時OP⊥OD，
OP的解析式是：y=x，當(dāng)x=-4時，y=-，
∴P（-4，-）
當(dāng)k=8時符合條件的點P為（-4，-6）或（-4，）或（-4，）．

（3）把△BCD沿著CD翻折，點B與OD上點E重合，DC平分∠BDO，
容易證明OC平分∠AOD，
又∵BD⊥AB，AO⊥AB，
∴AC=BC=EC．
∵∠BDC=∠ACO=90°-∠BCD，
∴Rt△AOC∽Rt△BCD，
∴AO：BC=AC：BD，
∴BD=．
設(shè)C（m，n），BD=-，
D（m-，2n）．
∵C，D都在雙曲線y=-上，
2n•（m-）=-8，
∴mn=-8，
∴=，∴m=-n，
n²=4．
∴S_{四邊形OCBD}=S_梯形ABDO-S_△AOC=2n[-+（-m）]÷2-4
=--mn-4=mn•（-）+8-4=8×+4=8（定值）．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的直角三角形，以及圖形的翻折，兩直線垂直的條件，正確利用C的坐標表示出四邊形的面積是關(guān)鍵．