【題目】如圖1,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,AB=3,點(diǎn)E、F在直線AB上,且∠ECF=60°.
(1)求AC邊的長(zhǎng);
(2)如圖1,點(diǎn)E、F在線段AB上時(shí),若EF=AF,求證:BE=EF;
(3)如圖2,F在AB上,E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),AF=m,BE=n,則n= (用含m的式子表示).
【答案】(1)AC=;(2)詳見解析;(3).
【解析】
(1)過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,由直角三角形的性質(zhì)可得AB=2CD,AC=2CD,即可求AC的值;
(2)作點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)G,連接FG、CG、EG,由“SAS”可證△GCE≌△BCE,可得EG=BE,∠B=∠EGC,即可證△FEG為等邊三角形,可得結(jié)論;
(2)將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△GCH,連接AG,過點(diǎn)H作DH⊥CG,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CG,BE=GH=n,∠BCG=60°,∠CGH=∠CBE=180°﹣∠ACB=150°,通過證明△NCF∽△DCH,可得,即可求解.
(1)如圖1,過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,
∵CA=CB,∠ACB=120°,
∴∠A=∠B=30°,AD=BD
∴AC=2CD,BD=AD=CD,
∵AB=3,
∴AD+BD=AB=3=2CD
∴CD=
∴AC=
(2)如圖1﹣1,作點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)G,連接FG、CG、EG,
∵G為點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn);
∴△ACF≌△GCF,
∴AC=CG,∠ACF=∠GCF,∠FGC=∠A.
又∵AC=BC,
∴CG=CB,
∵∠ACB=120°,∠ECF=60°,
∴∠ECG=60°﹣∠GCF=60°﹣∠ACF,∠BCE=60°﹣∠ACF,
∴∠ECG=∠ECB,
在△GCE和△BCE中
∴△GCE≌△BCE(SAS),
∴EG=BE,∠B=∠EGC,
∵∠ACB=120°,
∴∠A+∠B=60°,
∴∠EGC+∠FGC=60°,
又∵AF=EF=FG,
∴△FEG為等邊三角形,
∴EF=EG=BE,即BE=EF.
(2)如圖2,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△GCH,連接AG,過點(diǎn)H作DH⊥CG,
∵將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△GCH,
∴BC=CG,BE=GH=n,∠BCG=60°,∠CGH=∠CBE=180°﹣∠ACB=150°
∴∠DGH=180°﹣∠CGH=30°,且DH⊥CG
∴DH=GH=,GD=DH=n,
∵∠ACB=120°,∠BCG=60°
∴∠ACG=∠BCG=60°,且AC=BC
∴CG⊥AB,AN=BN=,CN=
∴FN=m﹣
∵∠CNF=∠CDH=90°,∠NCF=∠DCH,
∴△NCF∽△DCH
∴
∴
∴n=
故答案為:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,DM,EN分別垂直平分AB和AC,交BC于點(diǎn)D,E,若∠DAE=50°°,則∠BAC=________,若△ADE的周長(zhǎng)為19cm,則BC=_____cm.
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【題目】如圖,點(diǎn)O(0,0),A(0,1)是正方形OAA1B的兩個(gè)頂點(diǎn),以OA1對(duì)角線為邊作正方形OA1A2B1,再以正方形的對(duì)角線OA2作正方形OA2A3B2,…,依此規(guī)律,則點(diǎn)A7的坐標(biāo)是( )
A.(-8,0)B.(8,-8)C.(-8,8)D.(0,16)
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【題目】如圖,點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn),過點(diǎn)P作EF∥BC,分別交AB,CD于E、F,連接PB、PD.若AE=2,PF=6,則圖中陰影部分的面積為( )
A.10B.12C.16D.18
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【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,請(qǐng)按要求完成下列各題:
(1)畫線段AD∥BC且使AD=BC,連接CD;
(2)線段AC的長(zhǎng)為 ,CD的長(zhǎng)為 ,AD的長(zhǎng)為_____;
(3)△ACD為 三角形,四邊形ABCD的面積為 .
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【題目】已知直線l1:y=x-3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)將直線l1向上平移6個(gè)單位后得到直線l2,求直線l2的函數(shù)解析式;
(3)設(shè)直線l2與x軸的交點(diǎn)為M,則△MAB的面積是______.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=6,AC=10,AD是BC邊上的中線,且AD=4,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接CE.
(1)求證:△AEC是直角三角形.
(2)求BC邊的長(zhǎng).
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【題目】某書店老板去圖書批發(fā)市場(chǎng)購買某種圖書,第一次用500元購書若干本,很快售完由于該書暢銷,第二次購書時(shí),每本書的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了20%,他用900元所購該書的數(shù)量比第一次的數(shù)量多了10本.
(1)求第一次購書每本多少元?
(2)如果這兩次所購圖書的售價(jià)相同,且全部售完后總利潤(rùn)不低于25%,那么每本圖書的售價(jià)至少是多少元?
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【題目】如圖,若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對(duì)稱軸為x=1,與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B(﹣1,0),則
①二次函數(shù)的最大值為a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④當(dāng)y>0時(shí),﹣1<x<3,其中正確的個(gè)數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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