Question

【題目】綜合與探究

如圖是一個(gè)正方形紙片，如果將正方形紙片繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度，得到正方形，交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接、．

（1）求證：平分；

（2）直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）連接，，，，試探究在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形能否成為矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）能，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，四邊形為矩形，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，則有，則結(jié)論可證；

（2）通過(guò)證明和，得出，則有；

（3）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，通過(guò)中點(diǎn)和全等三角形的性質(zhì)得出，則有四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?/span>，則可證明四邊形為矩形．

（1）證明：∵正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到正方形，

∴，，

在和中，

∴，

∴，

即平分．

（2），理由如下：

，

．

∵正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到正方形，

∴，，

，

在和中，

∴，

∴．

，

．

（3）能，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，四邊形為矩形，理由如下：

如圖，

∵點(diǎn)為中點(diǎn)．

∴．

∵，由（1）知，

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形．

又∵，

∴四邊形為矩形．