Question

【題目】（初步探究）

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E是邊BC上一點，AB＝EC，BE＝CD，連接AE、DE．判斷△AED的形狀，并說明理由．

（解決問題）

（2）如圖2，在長方形ABCD中，點P是邊CD上一點，在邊BC、AD上分別作出點E、F，使得點F、E、P是一個等腰直角三角形的三個頂點，且PE＝PF，∠FPE＝90°．要求：僅用圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．

（拓展應用）

（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，0），點B（4，1），點C在第一象限內，若△ABC是等腰直角三角形，則點C的坐標是　 　．

（4）如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），點C是y軸上的動點，線段CA繞著點C按逆時針方向旋轉90°至線段CB，CA＝CB，連接BO、BA，則BO+BA的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）△AED是等腰直角三角形；（2）詳見解析；（3）（1，2）、（3，3）、（，）；（4）

【解析】

（1）證明△ABE≌△ECD （SAS），即可求解；

（2）如圖，以點D為圓心CP長為半徑作弧交AD于點F，以點C為圓心，DP長為半徑作弧交BE于點E，連接EF，EP，FP，點E、F即為所求；

（3）分∠CAB=90°、∠ABC=90°、∠ACB=90°，三種情況求解即可；

（4）求出B（m，1+m），則：BO+BA= ，BO+BA的值相當于求點P（m，m）到點M（1，-1）和點N（0，-1）的最小值，即可求解．

解：（1）△AED是等腰直角三角形，

證明：∵在△ABE和△ECD中，

,

∴△ABE≌△ECD （SAS）

∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，

∵在Rt△EDC中，∠C＝90°，

∴∠EDC+∠DEC＝90°．

∴∠AEB+∠DEC＝90°．

∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，

∴∠AED＝90°．

∴△AED是等腰直角三角形；

（2）如圖，以點D為圓心CP長為半徑作弧交AD于點F，以點C為圓心，DP長為半徑作弧交BE于點E，連接EF，EP，FP．

∴點E、F即為所求；

（3）如圖，當∠CAB＝90°，CA＝AB時，過點C作CF⊥AO于點F，過點B作BE⊥AO于點E，

∵點A（2，0），點B（4，1），

∴BE＝1，OA＝2，OE＝4，∴AE＝2，

∵∠CAB＝90°，BE⊥AO，

∴∠CAF+∠BAE＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，

∴∠CAF＝∠ABE，且AC＝AB，∠AFC＝∠AEB＝90°，

∴△ACF≌△BAE（AAS）

∴CF＝AE＝2，AF＝BE＝1，

∴OF＝OA﹣AF＝1，

∴點C坐標為（1，2）

如圖，當∠ABC＝90°，AB＝BC時，過點B作BE⊥OA，過點C作CF⊥BE

∵∠ABC＝90°，BE⊥OA，

∴∠ABE+∠CBF＝90°，∠ABE+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，且BC＝AB，∠AEB＝∠CFB＝90°

∴△BCF≌△ABE（AAS）

∴BE＝CF＝1，AE＝BF＝2，∴EF＝3

∴點C坐標為（3，3）

如圖，當∠ACB＝90°，CA＝BC時，過點C作CD⊥OA于點D，過點B作BF⊥CD于點F，

∵∠ACD+∠BCF＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠BCF＝∠CAD，且AC＝BC，∠CDA＝∠CFB，

∴△ACD≌△CBF（AAS）

∴CF＝AD，BF＝CD＝DE，

∵AD+DE＝AE＝2

∴2＝AD+CD＝AD+CF+DF＝2AD+1

∴DA＝，

∴CD＝，OD＝，

∴點C坐標（，）

綜上所述：點C坐標為：（1，2）、（3，3）、（，）

故答案為：（1，2）、（3，3）、（，）

（4）如圖作BH⊥OH于H．

設點C的坐標為（0，m），

由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，

則點B（m，1+m），

則：BO+BA＝，

BO+BA的值，相當于求點P（m，m）到點M（1，﹣1）和點N（0，﹣1）的最小值，

相當于在直線y＝x上尋找一點P（m，m），使得點P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距離和最小，

作M關于直線y＝x的對稱點M′（﹣1，0），

易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，

M′N＝，

故：BO+BA的最小值為．