Question

如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)y=

m

x

（x＞0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（1，4），B（a，b），過點B作y軸的垂線，垂足為D，連結(jié)AB，AD．
（1）若△ABD的面積為4，求點B的坐標．
（2）過點A作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)CB，CD；當DC∥AB，AD=BC時，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先把A點坐標代入y=

k

x

求出k，可確定反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

，則ab=4，再根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

•a•（4-b）=4，即2a-

1

2

ab=4，然后把ab=4代入可解出a=3，則b=

4

3

，這樣可寫出B點坐標；
（2）由AC⊥BD，AC=4可得到S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD=2BD，再分類討論：當AD∥BC，可判斷四邊形ABCD為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得BD=2DE=2，
所以S_{四邊形ABCD}=2BD=4；當AD與BC不平行，可判斷四邊形ABCD為等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得BD=AC=4，則S_{四邊形ABCD}=2BD=8．

解答：解：（1）把A（1，4）代入y=

k

x

得k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

，
把B（a，b）代入y=

4

x

得ab=4，
∵

1

2

•a•（4-b）=4，即2a-

1

2

ab=4，
∴2a-2=4，解得a=3，
∴b=

4

3

，
∴B點坐標為（3，

4

3

）；

（2）∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴AC⊥BD，
而AC=4，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD=2BD，
當AD∥BC，AC與BD相交于E，
∵DC∥AB，AD=BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴BD=2DE，
∴BD=2，
∴S_{四邊形ABCD}=2BD=4；
當AD與BC不平行，
∵DC∥AB，AD=BC，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，
∴BD=AC=4，
∴S_{四邊形ABCD}=2BD=8，
即四邊形ABCD的面積為4或8．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式；熟練運用菱形和等腰梯形的判定與性質(zhì)．