Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上（不與端點(diǎn)重合）.連接分別交、于點(diǎn)、，連接.

（1）求的值；

（2）試判斷與的位置關(guān)系，并加以證明；

（3）若，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）結(jié)合A，B的坐標(biāo)，在在中，即可求出的值；

（2）與的位置關(guān)系為，利用折疊的性質(zhì)以及斜邊上的中線定理可證明，再利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)一步證明，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可證明結(jié)論；

（3）設(shè)，則，，用含t的式子表示出DN，再由，得出OD的值，最后利用勾股定理求解即可．

解：（1）由題意得：，．

在中，．

（2），理由如下：

由折疊的性質(zhì)得：．

∵為斜邊上的中線，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，即，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

（3）∵

∴在中，，

設(shè)，則，，

當(dāng)時(shí)，．

又∵，，

∴，

∴，

∴．

由得：，即，

∴．

在中，由勾股定理得：，

即，解得：，，

∴或0（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)．

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為．