Question

【題目】對于0，1以及真分數(shù)p，q，r，若p<q<r，我們稱q為p和r的中間分數(shù)．為了幫助我們找中間分數(shù)，制作了下表：

兩個不等的正分數(shù)有無數(shù)多個中間分數(shù)．例如：上表中第③行中的3個分數(shù)、、，有，所以為和的一個中間分數(shù)，在表中還可以找到和的中間分數(shù)， ， ， ．把這個表一直寫下去，可以找到和更多的中間分數(shù)．

（1）按上表的排列規(guī)律，完成下面的填空：

①上表中括號內應填的數(shù)為 ；

②如果把上面的表一直寫下去，那么表中第一個出現(xiàn)的和的中間分數(shù)是 ；

（2）寫出分數(shù)和（a、b、c、d均為正整數(shù)， ， ）的一個中間分數(shù)（用含a、b、c、d的式子表示），并證明；

（3）若與（m、n、s、 t均為正整數(shù)）都是和的中間分數(shù)，則的最小值為 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②（2）證明見解析（3）1504

【解析】試題分析：（1）①觀察每一行的規(guī)律可得括號位于第⑦行，按表格中的規(guī)律可知是；

②觀察表格可知第一個出現(xiàn)的和的中間分數(shù)在第⑧行，是；

（2）答案不唯一，根據表格中觀察到的，可以為，通過推導證明即可得；

（3）根據排列可知和的中間分數(shù)有， ， ， 等，由此可得.

試題解析：（1）①觀察每一行的規(guī)律可得括號位于第⑦行，按分子的排序可知是，

②觀察表格可知第一個出現(xiàn)的和的中間分數(shù)在第⑧行，是，

故答案為：①；②．

（2）本題結論不唯一，證法不唯一，如：

結論： ．

∵a、b、c、d均為正整數(shù)， ， ，

∴，

．

∴．

（3）根據排列可知和的中間分數(shù)有， ， ， 等，由此可得mn的最小值為1504，

故答案為：1504.