Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE、始終經過點A，EF與AC交于M點．
（1）求證：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；
（3）當線段AM最短時，求重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠AEF=∠B，

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠CEM=∠BAE，

∴△ABE∽△ECM

（2）能．

解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF，

∴AE≠AM；

當AE=EM時，則△ABE≌△ECM，

∴CE=AB=5，

∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，

當AM=EM時，則∠MAE=∠MEA，

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，

即∠CAB=∠CEA，

又∵∠C=∠C，

∴△CAE∽△CBA，

∴ ，

∴CE= ，

∴BE=6﹣ = ；

∴BE=1或

（3）解：設BE=x，

又∵△ABE∽△ECM，

∴ ，

即： ，

∴CM=﹣ + x=﹣ （x﹣3）2+ ，

∴AM=5﹣CM═ （x﹣3）2+ ，

∴當x=3時，AM最短為 ，

又∵當BE=x=3= BC時，

∴點E為BC的中點，

∴AE⊥BC，

∴AE= =4，

此時，EF⊥AC，

∴EM= = ，

S△AEM= ．

【解析】（1）由AB=AC，根據等邊對等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得：△ABE∽△ECM；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質求解即可求得答案；（3）首先設BE=x，由△ABE∽△ECM，根據相似三角形的對應邊成比例，易得CM=﹣ + x=﹣ （x﹣3）2+ ，繼而求得AM的值，利用二次函數的性質，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的最值和勾股定理的概念，需要了解如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．