Question

（2012•昌平區(qū)一模）問題探究：
（1）如圖1，在邊長為3的正方形ABCD內（含邊）畫出使∠BPC=90°的一個點P，保留作圖痕跡；
（2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD內（含邊）畫出使∠BPC=60°的所有的點P，保留作圖痕跡并簡要說明作法；
（3）如圖3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD內（含邊）畫出使∠BPC=60°，且使△BPC的面積最大的所有點P，保留作圖痕跡．

Answer 1

分析：（1）正方形對角線的交點符合點P的要求，作對角線即可；
（2）①以BC為邊在正方形內作等邊△BCQ；
②作△BCQ的外接圓⊙O，分別與AB、DC交于點M、N，由于在⊙O中，弦BC所對

BQC

的圓周角均為60°，所

MN

上的所有點均為所求的點P．
（3）以BC為邊作等邊△BCQ；作等邊△QBC的外接圓⊙O與AD交于點 P₁、P₂，點P₁、P₂即為所求．

解答：解：（1）如圖1，畫出對角線AC與BD的交點即為點P．               
注：以BC為直徑作上半圓（不含點B、C），則該半圓上的任意一點即可．

（2）如圖2，以BC為一邊作等邊△QBC，作△QBC的外接圓⊙O分別與AB，DC交于點 M、N，弧MN即為點P的集合．     

（3）如圖3，以BC為一邊作等邊△QBC，
作△QBC的外接圓⊙O與AD交于點 P₁、P₂，點P₁、P₂即為所求．

點評：此題主要考查了應用設計與作圖，綜合利用正方形的性質和同圓中同弧所對的圓周角相等得知識點是解題關鍵．