【題目】如圖:在等腰直角三角形中,AB=AC,點D是斜邊BC上的中點,點E、F分別為AB,AC上的點,且DE⊥DF。(1)若設,,滿足.
(1)求BE及CF的長。
(2)求證:。
(3)在(1)的條件下,求△DEF的面積。
【答案】(1)BE=12,CF=5;(2)證明見解析;(3).
【解析】
試題分析:(1)先根據(jù)二次根式的非負性求出m=2,再由非負數(shù)的性質求出a、b的值,進而得到BE及CF的長;
(2)延長ED到P,使DP=DE,連接FP,CP,利用SAS得到三角形BED與三角形CPD全等,利用全等三角形對應邊相等得到BE=CP,再利用SAS得到△EDF和△PDF全等,利用全等三角形對應邊相等得到EF=FP,利用等角的余角相等得到∠FCP為直角,在直角三角形FCP中,利用勾股定理列出關系式,等量代換即可得證;
(3)連接AD,由AB=AC,且D為BC的中點,利用三線合一得到AD垂直于BC,AD為角平分線,再由三角形ABC為等腰直角三角形,得到一對角相等,利用同角的余角相等得到一對角相等,再由AD=CD,利用ASA得到三角形AED與三角形CFD全等,利用全等三角形對應邊相等得到AE=CF=5,DE=DF,由AE+EB求出AB的長,即為AC的長,再由AC-CF求出AF的長,在直角三角形AEF中,利用勾股定理求出EF的長,再根據(jù)三角形DEF為等腰直角三角形求出DE與DF的長,即可確定出三角形DEF的面積.
試題解析:(1)由題意得,
解得m=2,
則+|b-5|=0,
所以a-12=0,b-5=0,
a=12,b=5,
即BE=12,CF=5;
(2)延長ED到P,使DP=DE,連接FP,CP,
在△BED和△CPD中,
,
∴△BED≌△CPD(SAS),
∴BE=CP,∠B=∠CDP,
在△EDF和△PDF中,
,
∴△EDF≌△PDF(SAS),
∴EF=FP,
∵∠B=∠DCP,∠A=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠DCP=90°,即∠FCP=90°,
在Rt△FCP中,根據(jù)勾股定理得:CF2+CP2=PF2,
∵BE=CP,PF=EF,
∴BE2+CF2=EF2;
(3)連接AD,
∵△ABC為等腰直角三角形,D為BC的中點,
∴∠BAD=∠FCD=45°,AD=BD=CD,AD⊥BC,
∵ED⊥FD,
∴∠EDA+∠ADF=90°,∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠EDA=∠FDC,
在△AED和△CFD中,
,
∴△AED≌△CFD(ASA),
∴AE=CF=5,DE=DF,即△EDF為等腰直角三角形,
∴AB=AE+EB=5+12=17,
∴AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12,
在Rt△EAF中,根據(jù)勾股定理得:EF==13,
設DE=DF=x,
根據(jù)勾股定理得:x2+x2=132,
解得:x=,即DE=DF=,
則S△DEF=DEDF=××=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知點A的坐標為(a,0)(其中a>0),作AB∥y軸交反比例函數(shù)(k>0,x>0)的圖象于點B.
(1)當△OAB的面積為2時,①求k的值;②若a=2,過A點作AC∥OB交(k>0,x>0)圖象于點C,求C的橫坐標;
(2)若D為射線AB上一點,連接OD交反比例函數(shù)圖象于點E,DF∥x軸交反比例函數(shù)(k>0,x>0)的圖象于點F,連接EF、EB,試猜想:的值是否隨a的變化而變化?如果不變,求出的值;如果變化,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將連續(xù)的奇數(shù)1、3、5、7、9,……排成如下的數(shù)表:
(1)十字框中的5個數(shù)的和與中間的數(shù)23有什么關系?若將十字框上下左右平移,可框住另外5個數(shù),這5個數(shù)還有這種規(guī)律嗎?
(2)設十字框中中間的數(shù)為a,用含a的式子表示十字框中的其他四個數(shù);
(3)十字框中的5個數(shù)的和能等于2018嗎?若能,請寫出這5個數(shù);若不能,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于點D,動點P從點B出發(fā)沿BC方向以每秒5個單位的速度向終點C運動,過點P作PE⊥AB于點E,過點P作PF∥BA,交AC于點F,設點P運動的時間為t秒.若以PE所在的直線為對稱軸,線段BD經軸對稱變換后的圖形為B'D',求當線段B'D'與線段AC有交點這段過程中,線段B'D'掃過的面積 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是由邊長為1的小正三角形組成的網格圖,點O和△ABC的頂點都在正三角形的格點上,將△ABC繞點O逆時針旋轉120°得到△A′B′C′.
(1)在網格中畫出旋轉后的△A′B′C′;
(2)求AB邊旋轉時掃過的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車從A地駛向B地,并以各自的速度勻速行駛,甲車比乙車早行駛2 h,并且甲車途中休息了0.5 h,如圖是甲、乙兩車行駛的路程y(km)與時間x(h)的函數(shù)圖象.
(1)求出圖中m和a的值.
(2)求出甲車行駛的路程y(km)與時間x(h)的函數(shù)關系式,并寫出相應的x的取值范圍.
(3)當乙車行駛多長時間時,兩車恰好相距50 km?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】知識是用來為人類服務的,我們應該把它們用于有意義的方面.下面就兩個情景請你作出評判.
情景一:從教室到圖書館,總有少數(shù)同學不走人行道而橫穿草坪,這是為什么呢?試用所學數(shù)學知識來說明這個問題.
情景二:A、B是河流l兩旁的兩個村莊,現(xiàn)要在河邊修一個抽水站向兩村供水,問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?請在圖中表示出抽水站點P的位置,并說明你的理由:
你贊同以上哪種做法?你認為應用數(shù)學知識為人類服務時應注意什么?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,函數(shù)y=2x和y=﹣x的圖象分別為直線l1,l2,過點(1,0)作x軸的垂線交l1于點A1…過點A1作y軸的垂線交L2于點A2,過點A2作x軸的垂線交于點A3,過點A3作y軸的垂線交L2于點A4,依次進行下去,則點A2018的坐標為( 。
A. (﹣21009,21009) B. (﹣21009,﹣21010)
C. (﹣1009,1009) D. (﹣1009,﹣2018)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將正方體骰子(相對面上的點數(shù)分別為1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上,如圖1。在圖2中,將骰子向右翻滾90°,然后在桌面上按逆時針方向旋轉90°,則完成一次變換。若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài),那么按上述規(guī)則連續(xù)完成14次變換后,骰子朝上一面的點數(shù)是_____________________。
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