Question

如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點(diǎn)A₂，…，∠A_n-1BC的平分線與∠A_n-1CD的平分線交于點(diǎn)A_n．設(shè)∠A=θ，則∠A₂=

 

，∠A_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，然后整理得到∠A₁=

1

2

∠A，同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁，從而判斷出后一個(gè)角是前一個(gè)角的

1

2

，然后表示出，∠A_n即可．

解答：解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

θ

4

，
…，
∠A_n=

θ

2n

．
故答案為：

θ

4

；

θ

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的

1

2

是解題的關(guān)鍵．