Question

15．如圖，在矩形ABCD中，∠B的平分線BE與AD交于點(diǎn)E，∠BED的平分線EF與DC交于點(diǎn)F，若AB=9，DF=2FC，則BC=$6\sqrt{2}+3$．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 先延長(zhǎng)EF和BC，交于點(diǎn)G，再根據(jù)條件可以判斷三角形ABE為等腰直角三角形，并求得其斜邊BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)條件判斷三角形BEG為等腰三角形，最后根據(jù)△EFD∽△GFC得出CG與DE的倍數(shù)關(guān)系，并根據(jù)BG=BC+CG進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：延長(zhǎng)EF和BC，交于點(diǎn)G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE=$\sqrt{{9}^{2}+{9}^{2}}$=$9\sqrt{2}$，
又∵∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=$9\sqrt{2}$
由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC
∴$\frac{CG}{DE}=\frac{CF}{DF}=\frac{CF}{2CF}=\frac{1}{2}$
設(shè)CG=x，DE=2x，則AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG
∴$9\sqrt{2}$=9+2x+x
解得x=$3\sqrt{2}-3$
∴BC=9+2（$3\sqrt{2}$-3）=$6\sqrt{2}+3$
故答案為：$6\sqrt{2}+3$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)邊相等．解題時(shí)注意：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．