Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,規(guī)定：拋物線y=a(xh) +k的關(guān)聯(lián)直線為y=a(xh)+k.

例如：拋物線y=2(x+1) 3的關(guān)聯(lián)直線為y=2(x+1)3，即y=2x1.

(1)如圖,對于拋物線y=(x1) +3.

①該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為___，關(guān)聯(lián)直線為___，該拋物線與其關(guān)聯(lián)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為___和___；

②點(diǎn)P是拋物線y=(x1) +3上一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線PQ垂直于x軸,交拋物線y=(x1) +3的關(guān)聯(lián)直線于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,線段PQ的長度為d(d>0)，求當(dāng)d隨m的增大而減小時，d與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍。

(2)頂點(diǎn)在第一象限的拋物線y=a(x1) +4a與其關(guān)聯(lián)直線交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，直線AB與x軸交于點(diǎn)D，連結(jié)AC、BC.

①求△BCD的面積(用含a的代數(shù)式表示).

②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，直接寫出a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）①(1,3),y=x+4,(1,3)和(2,2)；②當(dāng)m<1,d=m3m+2; m<2時,d=m+3m2；;（2）①9a;②0<a<或a>1.

【解析】

（1）①利用二次函數(shù)的性質(zhì)和新定義得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和關(guān)聯(lián)直線解析式；然后解方程組 得該拋物線與其關(guān)聯(lián)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②設(shè)P（m，-m+2m+2），則Q（m，-m+4），如圖1，利用d隨m的增大而減小得到m<1或1<m<2，當(dāng)m<1時，用m表示s得到d=m-3m+2；當(dāng)1<m<2時，利用m表示d得到d=-m+3m-2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)m≥ ，d隨m的增大而減小，所以≤m<2時，d=-m+3m-2；

（2）①先確定拋物線y=-a（x-1）+4a的關(guān)聯(lián)直線為y=-ax+5a，再解方程組

得A（1，4a），B（2，3a），接著解方程-a（x-1）+4a=0得C（-1，0），解方程-ax+5a=0得D（5，0），然后利用三角形面積公式求解；

②利用兩點(diǎn)間的距離公式得到AC=2+16a，BC=3+9a，AB=1+a，討論：當(dāng)AC+AB<BC，∠BAC為鈍角，即2+16a+1+a<3+9a；當(dāng)BC+AB<AC，∠BAC為鈍角，即3+9a+1+a<2+16a，然后分別解不等式即可得到a的范圍．

(1)①拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),關(guān)聯(lián)直線為y=(x1)+3=x+4,

解方程組 得 或 ，

所以該拋物線與其關(guān)聯(lián)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)和(2,2)；

故答案為(1,3),y=x+4,(1,3)和(2,2)；

②設(shè)P(m,m+2m+2)則Q(m,m+4)，如圖1，

∵d隨m的增大而減小，

∴m<1或1<m<2，

當(dāng)m<1時,d=m+4(m+2m+2)=m3m+2；

當(dāng)1<m<2時,d=m+2m+2(m+4)=m+3m2,當(dāng)m，d隨m的增大而減小，

綜上所述,當(dāng)m<1,d=m3m+2; m<2時,d=m+3m2；

(2)①拋物線y=a(x1) +4a的關(guān)聯(lián)直線為y=a(x1)+4a=ax+5a，

解方程組得 或 ，

∴A(1,4a),B(2,3a)，

當(dāng)y=0時,a(x1) +4a=0,解得x =3,x =1,則C(1,0)，

當(dāng)y=0時,ax+5a=0,解得x=5,則D(5,0)，

∴S△BCD=×6×3a=9a；

②AC=2+16a,BC=3+9a,AB=1+a，

當(dāng)AC+AB<BC,∠BAC為鈍角,即2+16a+1+a<3+9a,解得a< ；

當(dāng)BC+AB<AC,∠BAC為鈍角,即3+9a+1+a<2+16a，解得a>1，

綜上所述,a的取值范圍為0<a<或a>1