Question

7．若關于x的方程x²-（a-3）x+a-2=0有兩個不相等的整數(shù)根，求a的值．

Answer 1

分析 設x₁，x₂是方程兩個不相等的整數(shù)根，于是得到x₁+x₂=a-3，x₁x₂=a-2．求得△=（a-3）²-4（a-2）=a²-10a+17=（a-5）²-8為完全平方數(shù)，列方程組即可得到結論．

解答 解：設x₁，x₂是方程兩個不相等的整數(shù)根，
則x₁+x₂=a-3，x₁x₂=a-2．
∴a-3，a-2均為整數(shù)，
∴a為整數(shù)，
∴△=（a-3）²-4（a-2）=a²-10a+17=（a-5）²-8為完全平方數(shù)，
設（a-5）²-8=t²（t為整數(shù)，且t≥0），
則（a-5）²-t²=8．于是，（a-5-t）（a-5+t）=8，
由于a-5-t，a-5+t奇偶性相同，且a-5-t≤a-5+t，
∴$\left\{\begin{array}{l}\;a-5-t=-4\\ \;a-5+t=-2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\;a-5-t=2\\ \;a-5+t=4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}\;a=2\\ \;t=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\;a=8\\ \;t=1\end{array}\right.$，
經(jīng)檢驗a=2，a=8符合要求，
∴a=2或a=8．

點評 本題考查了根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
也考查了二元一次方程組的解法．