Question

如圖，已知BC是⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點(diǎn)H，與弦BF交于點(diǎn)E，AD=8，BH=2．
（1）求⊙O的半徑；
（2）若∠EAB=∠EBA，求證：BF=2AH．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OA交BF于G，如圖，⊙O的半徑為r，根據(jù)垂徑定理得到AH=DH=4，在Rt△OHA中，根據(jù)勾股定理得r²=4²+（r-2）²，解得r=5；
（2）連結(jié)CF，如圖，根據(jù)垂徑定理得到弧AB=弧DB，而∠EAB=∠EBA，所以弧BD=弧AF，則弧AB=弧AF，再根據(jù)垂徑定理的推論得OA⊥BG，所以BG=FG，然后證明△OAH≌△OBG，得到AH=BG，所以BF=2AH．

解答：（1）解：連結(jié)OA交BF于G，如圖，⊙O的半徑為r，
∵AD⊥OB，
∴AH=DH=4，
在Rt△OHA中，OH=r-2，OA=r，
∴r²=4²+（r-2）²
，解得r=5，
即⊙O的半徑為5；
（2）證明：連結(jié)CF，如圖，
∵AD⊥OB，
∴弧AB=弧DB，
∵∠EAB=∠EBA，
∴弧BD=弧AF，
∴弧AB=弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG=FG，
∴∠OAH=∠OBG，
在△OAH和△OBG中，

∠OAH=∠OBG ∠OHG=∠OGB OA=OB

，
∴△OAH≌△OBG（AAS），
∴AH=BG，
∴BF=2AH．

點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了圓周角定理和勾股定理．