Question

5．如圖，在半徑為2的⊙O中，AB是直徑，C是弧AB的三等分點(diǎn)（∠BOC為銳角），D是OA的中點(diǎn)，BE是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，DC的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)E，連接AE，交⊙O于點(diǎn)F．
（1）求∠BOC的度數(shù)；
（2）作CM⊥AB，垂足為M，連接BF，分別求CM，BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角相等，即可解答；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)，求出CM，OM的值，根據(jù)兩角相等的三角形相似，證得△DMC∽△DBE，進(jìn)而求得BE的值，根據(jù)勾股定理求出AE的值，再利用面積法求出BF的長(zhǎng)度即可．

解答 解：（1）如圖，連接OC，
∵C是弧AB的三等分點(diǎn)，
∴∠BOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°；
（2）在Rt△OMC中，OC=2，∠COM=60°，
∴CM=sin60°×OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，OM=cos60°×OC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵BE是切線，
∴∠ABE=90°，
∵CM⊥AB，
∴∠CMO=90°=∠ABE，
∴△DMC∽△DBE，
∴$\frac{DM}{DB}=\frac{CM}{BE}$，即$\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{BE}$，解得：BE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{91}}{2}$，
∵AB是直徑，
∴∠AFB=90°，
∵${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}•BF•AE=\frac{1}{2}BE•AB$，
∴BF=$\frac{BE•AB}{AE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}×4}{\frac{\sqrt{91}}{2}}$=$\frac{12\sqrt{273}}{91}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的性質(zhì)，相似的性質(zhì)與判定，勾股定理等的綜合應(yīng)用，此題難度適中，能夠想到利用三角形相似的性質(zhì)和勾股定理求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解決此題的關(guān)鍵．