【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,∠AOC的平分線交AB于點D,E為BC的中點,已知A(0,4)、C(5,0),二次函數(shù) 的圖象拋物線經過A、C兩點.
(1)求該二次函數(shù)的表達式;
(2)F,G分別為x軸、y軸上的動點,首尾順次連接D、E、F、G構成四邊形DEFG,求四邊形DEFG周長的最小值;
(3)拋物線上是否存在點P,使△ODP的面積為8?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)∵二次函數(shù) 的圖象經過A(0,4)、C(5,0)兩點,
∴ 解得
∴二次函數(shù)的解析式為
(2)∵四邊形OABC為矩形,
∴∠BAO=∠AOC=90°,AB=OC=5,BC=OA=4,
∴B(5,4),
∵E為BC中點,
∴E(5,2),
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠DOC=45°,
∴∠ADO=∠AOD=45°,
∴AD=OA=4,
∴D(4,4),
∴DE= ,
作D關于y軸的對稱點D′,作E關于x軸的對稱點E′,連接D′G、E′F,如下圖所示:
則D′(-4,4),E′(5,-2),且D′G=DG,E′F=EF,
∵在 E′BD′中,∠E′BD′=90°,BD′=5-(-4)=9,E′B=4-(-2)=6,
∴E′D′= ,
∵四邊形DEFG的周長=DE+EF+FG+GD=DE+ E′F+FG+ GD′≥DE+ E′D′,
∴四邊形DEFG的周長最小值為DE+ E′D′,
∴四邊形DEFG周長的最小值是
(3)解:∵點D的坐標是(4,4),
∴OD= ,
又∵使△ODP的面積為8,
∴點P到直線OD的距離為 ,
過點O作OF⊥OD,取OF= ,過點F作直線FG∥OD,交拋物線與點P1,P2,則,∠OFG=90°,如圖所示:
∵∠DOC=45°(已求),
∴∠COF=∠FOG=45°,
在直角 中,OF= ,
∴OG= =4,
∴直線GF的解析式為y=x-4,
把y=x-4代入 中,得 ,
解得x1=4,x2=10,
把x1=4,x2=10代入y=x-4中,得y1=0,y2=6,
∴P1(4,0),P2(10,6),
過點O作OF⊥OD,取OF= ,過點F作直線FG交拋物線與P3,P4,如下圖所示:
∵∠DOC=45°(已求),
∴∠DOA=∠AOF=∠GOF=45°,
在直角 中,OF= ,
∴OG= =4,
∴直線GF的解析式為y=x+4,
把y=x+4代入 中,得 ,
解得x1=0,x2=14,
把x1=0,x2=14代入y=x+4中,得y1=4,y2=18,
∴P1(0,4),P2(14,18),
所以綜合上述可得,P1(4,0) 、 P2(10,6) 、P3(0,4) 、 P4(14,18)
【解析】(1)把A、C坐標代入解析式,解方程組,即可求出解析式;(2)利用對稱法,做出D關于y軸的對稱點D′,作E關于x軸的對稱點E′,當D'、E'、F、G四點共線時,周長最小;(3)以OD為底邊,使△ODP的面積為8,則點P到直線OD的距離為 2 ,在OD兩側作平行于OD的直線,使直線與直線OD的距離為 2 ,與拋物線交于4個點,解方程組,求出坐標.
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【題目】如圖,方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,若學校位置坐標為A(2,1),圖書館位置坐標為B(﹣1,﹣2),解答以下問題:
(1)在圖中標出平面直角坐標系的原點,并建立直角坐標系;
(2)若體育館位置坐標為C(1,﹣3),請在坐標系中標出體育館的位置;
(3)順次連接學校、圖書館、體育館,得到△ABC,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,每個小正方形的邊長為1個單位,每個小方格的頂點叫格點.
(1)畫出△ABC向右平移4個單位后得到的△A1B1C1;
(2)圖中AC與A1C1的關系是: _____________.
(3)畫出△ABC的AB邊上的高CD;垂足是D;
(4)圖中△ABC的面積是_______________.
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【題目】由于霧霾天氣對人們健康的影響,市場上的空氣凈化器成了熱銷產品.某公司經銷一種空氣凈化器,每臺凈化器的成本價為200元.經過一段時間的銷售發(fā)現(xiàn),每月的銷售量y(臺)與銷售單價x(元)的關系為y=-2x+1000.
(1)該公司每月的利潤為w元,寫出利潤w與銷售單價x的函數(shù)關系式;
(2)若要使每月的利潤為40000元,銷售單價應定為多少元?
(3)公司要求銷售單價不低于250元,也不高于400元,求該公司每月的最高利潤和最低利潤分別為多少?
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【題目】如圖,在長方形 ABCD 中,放入六個形狀大小相同的長方形,所標尺寸如圖所示, 則圖中陰影部分面積為( )
A. 44cm2B. 36cm2C. 96 cm2D. 84cm2
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【題目】小明正在做一個半徑為米的地球模型.
(1)他想用一根鐵絲圍住地球模型的赤道,大約需要多少的鐵絲?如果要把這個模型的半徑增加米,要圍住赤道需要增加多長的鐵絲?
(2)假設真的為地球赤道做一個鐵箍,大約要多長的鐵絲?如果將鐵箍所圍的半徑增加米,那么需要增加多長的鐵絲?(地球半徑約為千米)
(3)比較(1)(2)的結果,請敘述一下你發(fā)現(xiàn)了什么?
(4)如果小明做的地球的模型的半徑為,如果地球體積是地球模型體積的倍,求的值.(球的體積公式)
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【題目】如圖,在等邊三角形中,在邊上取兩點、,使.若,,, 則以,,為邊長的三角形的形狀為( )
A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.隨,,的值而定
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【題目】【探索新知】:如圖1,射線OC在∠AOB的內部,圖中共有3個角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍,則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”.
(1)一個角的平分線 這個角的“巧分線”;(填“是”或“不是”)
(2)如圖2,若∠MPN=α,且射線PQ是∠MPN的“巧分線”,則∠MPQ= ;(用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結果)
【深入研究】:如圖2,若∠MPN=60°,且射線PQ繞點P從PN位置開始,以每秒10°的速度逆時針旋轉,當PQ與PN成180°時停止旋轉,旋轉的時間為t秒.
(3)當t為何值時,射線PM是∠QPN的“巧分線”;
(4)若射線PM同時繞點P以每秒5°的速度逆時針旋轉,并與PQ同時停止,請直接寫出當射線PQ是∠MPN的“巧分線”時t的值.
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【題目】直線的解析式為,分別交軸、軸于點.
(1)寫出兩點的坐標,并畫出直線的圖象.(不需列表);
(2)將直線向左平移4個單位得到交軸于點.作出的圖象,的解析式是___________.
(3)過的頂點能否畫出直線把分成面積相等的兩部分?若能,可以畫出幾條?直接寫出滿足條件的直線解析式.(不必在圖中畫出直線)
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