Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（8，0），點 B（t，b）在直線y=b上運動，點D、E、F分別為OB、OA、AB的中點，其中b是大于零的常數。設直線y=b與y軸交于點C，問：四邊形DEFB能不能是矩形？若能，求出t的值；若不能，說明理由。

Answer 1

解：以E為圓心，OA長為直徑的圓記為⊙E，

∵D、E分別是OB、OA的中點，∴DE∥AB。

同理，EF∥OB。

∴四邊形DEFB是平行四邊形。

①當直線y=b與⊙E相切或相交時，

若點B是切點或交點，則由圓周角定理∠ABO=90°，

∴四邊形DEFB是矩形。

此時0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，∴，即OB²=OA•BC=8t。

在Rt△OBC中，OB²=BC²＋OC²=t²＋b²。

∴t²＋b²=8t，即t²－8t＋b²=0，解得。

②當直線y=b與⊙E相離即b＞4時，∠ABO＜90°，∴四邊形DEFB不是矩形。

綜上所述：當0＜b≤4時，四邊形DEFB是矩形，這時，，當b＞4時，四邊形DEFB不是矩形。

【考點】動點問題，三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，矩形的判定和性質，直線與圓的位置關系，解一元二次方程，圓周角定理，三角形外角定理。