【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=6,AD=9,點(diǎn)E是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E不與D重合),過點(diǎn)E作EF∥AC,交AD于點(diǎn)F(當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí),EF與AC重合),把△DEF沿著EF對折,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G.設(shè)DE=x,△GEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為y.
(1)求CD的長及∠1的度數(shù);
(2)若點(diǎn)G恰好在BC上,求此時(shí)x的值;
(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求x為何值時(shí),y的值最大?最大值是多少?
【答案】
(1)
解:如圖1,
過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,
∵在Rt△AHB中,AB=6,∠B=60°,
∴AH=ABsinB=6× =3 ,
∵∠D=∠BCD=90°,
∴四邊形AHCD為矩形,
∴CD=AH=3 ,
∵ ,
∴∠CAD=30°,
∵EF∥AC,
∴∠1=∠CAD=30°
(2)
解:若點(diǎn)G恰好在BC上,如圖2,
由對折的對稱性可知Rt△FGE≌Rt△FDE,
∴GE=DE=x,∠FEG=∠FED=60°,
∴∠GEC=60°,
∵△CEG是直角三角形,
∴∠EGC=30°,
∴在Rt△CEG中,EC= EG= x,
由DE+EC=CD 得 ,
∴x=2
(3)
解:分兩種情形:
第一種情形:當(dāng) 時(shí),如圖3,
在Rt△DEF中,tan∠1=tan30°= ,
∴DF=x÷ = x,
∴y=S△EGF=S△EDF= = = ,
∵ >0,對稱軸為y軸,
∴當(dāng) ,y隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=2 時(shí),y最大值= × =6 ;
第二種情形:當(dāng)2 <x≤3 時(shí),如圖4,
設(shè)FG,EG分別交BC于點(diǎn)M、N,
(法一)∵DE=x,
∴EC= ,NE=2 ,
∴NG=GE﹣NE= = ,
又∵∠MNG=∠ENC=30°,∠G=90°,
∴MG=NGtan30°= ,
∴ =
∴y=S△EGF﹣S△MNG= =
∵ ,對稱軸為直線 ,
∴當(dāng)2 <x≤3 時(shí),y有最大值,且y隨x的增大而增大,
∴當(dāng) 時(shí), =9 ,
綜合兩種情形:由于6 <9 ;
∴當(dāng) 時(shí),y的值最大,y的最大值為9 .
【解析】(1)如圖1,作輔助線AH⊥BC,AH的長就是CD的長,根據(jù)直角三角形中的特殊三角函數(shù)值可以求AH的長,即CD=AH=3 ,在直角△ACD中,求∠CAD=30°,由平行線的同位角相等可以得∠1=∠CAD=30°;(2)如圖2,由對折得:Rt△FGE≌Rt△FDE,則GE=DE=x,∠FEG=∠FED=60°,從而求得直角△GEC中,EC= x,根據(jù)DE+EC=CD 列式可求得x的值(3)分兩種情形:
第一種情形:當(dāng) 時(shí),如圖3,△GEF完全在四邊形內(nèi)部分,重疊部分面積就是△GEF的面積;
第二種情形:當(dāng)2 <x≤3 時(shí),如圖4,重疊部分是△GEF的面積﹣△MNG的面積,所以要根據(jù)特殊的三角函數(shù)值求MG、NG的長,代入面積公式即可.
再根據(jù)兩種情形的最大值作對比得出結(jié)果.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了豐富少年兒童的業(yè)余生活,某社區(qū)要在如圖中的AB所在的直線上建一圖書室,本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B.已知AB=2.5km,CA=1.5km,DB=1.Okm,試問:圖書室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少km處,才能使它到兩所學(xué)校的距離相等?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一副三角板按如圖放置,則下列結(jié)論:
①如果∠2=30°,則有AC∥DE;
②∠BAE+∠CAD =180°;
③如果BC∥AD,則有∠2=45°;
④如果∠CAD=150°,必有∠4=∠C;
正確的有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y1與y2相交于點(diǎn)C(1,2),y1與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)(0,1);y2與x軸交于點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)A.下列說法正確的有_____________.
①y1的解析式為y1=x+2②OA=OB③∠CDB=45°④△AOB≌△BCD.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,EG、EM、FM分別平分∠AEF,∠BEF,∠EFD,則圖中與∠DFM相等的角(不含它本身)的個(gè)數(shù)為( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知函數(shù)y=-x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,與函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)E,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)在x軸上有一點(diǎn)F(a,0),過點(diǎn)F作x軸的垂線,分別交函數(shù)y=-x+b和y=x的圖象于點(diǎn)C、D,若以點(diǎn)B、O、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求a的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式因式分解,一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2,另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成2,請將原多項(xiàng)式因式分解.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生課余活動(dòng)情況,某校對參加繪畫、書法、舞蹈、樂器這四個(gè)課外興趣小組的人員分布情況進(jìn)行抽樣調(diào)查,并根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問題:
(1)此次共調(diào)查了多少名同學(xué)?
(2)將條形圖補(bǔ)充完整,并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中書法部分的圓心角的度數(shù);
(3)如果該校共有1000名學(xué)生參加這4個(gè)課外興趣小組,而每個(gè)教師最多只能輔導(dǎo)本組的20名學(xué)生,估計(jì)每個(gè)興趣小組至少需要準(zhǔn)備多少名教師?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x、y的方程組(實(shí)數(shù)m是常數(shù)).
(1)若x+y=1,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若-1≤x-y≤5,求m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,化簡:.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com